Einladungsschrift zu der am 18., 19., 20. und 21. März 1872 stattfindenden öffentlichen Prüfung der Realmd Volksschule d-r israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main. Inhalt: 1. Einführung in die Zahlentheorie. Von G. Werth eim. 2. Schuln…

Einführung in die Zahlentheorie. Die nachstehende Arbeit soll den Schülern der beiden ersten Classen unserer Schule Gelegenheit geben, sich durch Privatstudium mit den Elementen der Zahlentheorie (der Lehre von den Eigenschaften der ganzen …

— 4 — 25, 35 u. s. w. Ebenso verfährt man weiter mit 7, 11, 13 u. s. w. Die bei dieser Operation stehen gebliebenen Zahlen sind die sämmtlichen in dem betrachteten Gebiete vorhandenen Primzahlen. Es fragt sich nun, welches die letzte Primza…

Zahlen gibt, die kleiner als m sind, so muß die Reihe der Operationen einmal ein Ende nehmen. Jede zusammengesetzte Zahl kann also als das Produkt von Primzahlen dargestellt werden. Es ist z. B. 60 2 . 2 . 3 . 5. Tritt in der Zerlegung eine…

denn eine solche würde nachdem vorhergehenden Zusatz nicht in a." . . ., d. h. nicht in aufgehen. Ebenso kann dem zweiten System keine Primzahl des ersteren fehlen; denn eine solche würde nach demselben Zusatz nicht in das Produkt der Zahle…

kleinsten Exponenten gibt, den sie in einer dieser Zahlen hat, und die so erhaltenen Potenzen multiplicirt. Beispiel: Die Zahlen 504 2» . 32 . 7, 240 2^ . 3 . 5, 864 2» . 3» haben den größten gemeinschaftlichen Divisor 2° . 3 24. Aufgabe I.…

Beweis. Da a und d relative Primzahlen find, so gelangt man bei den in (7), Aufgabe I angegebenen Divisionen zum Rest 1, erhält also die Gleichungen a. — dcz -je b er -jä L Werden dieselben sämmtlich mit k multiplicirt, so verwandeln sie si…

eine ganze positive Zahl bedeutet. Die zugleich durch a und d theilbaren Zahlen haben also die Form adl und werden erhalten, wenn man 1 die Werthe 1, 2, 3, . . . annehmen läßt. Die kleinste dieser Zahlen entspricht dem Werthe 1 ----- 1 und …

— 10 — wo wieder a, d, e u. s. w. ungleiche Primzahlen, «, A u. s. w. ganze positive Zahkn bezeichnen. Dann handelt es sich darum, aus der Reihe (I) 1, 2, 3, . . ., m jede Zahl zu entfernen, welche durch eine oder mehrere der Primzahlen a, …

weder a noch d als Factor enthalten. Nun fanden wir oben, daß die Reihe (I) Zahlen enthält, die weder durch a, noch durch d Heilbar sind; folglich enthält die Reihe (III) Zahlen derselben Beschaffenheit, d. h. es befinden sich in (I) Zahlen…

— 12 — so ist (nach 10) ' P(M.)- w. ^1-1.^1-^... P (m.) - ^1 - ^1 - 5) - . - , ................, und ebenso (M, M, M« . . .) ---- Mi Mz Mz . . . ^1 — ^1 — . . . ^1 folglich P (Ml Mz Ms . ..)---- ^) (Ml) ^) (M2) P (Ms) .... Beispiel. (60) (4…

— 13 - Es ist aber? (Y 1?> (a) a ^1 <x (»2) ao (^o also ^(1) 4-<y (a)^P (a') ... > - 1 ^1 - 4-^ . - Ebenso ergibt sich . ,?(y>?"(b) ^->(d-)> ... y.(d^) mithin (S.) -s- <ä-) -s- . . . 4- (6°) . . . m. Beispiel. Die Zahl 12 hat die 6 Divisore…

und da 50 25 ->- 12 6 -j- 3 ->- 1 97 ist, so enthält das Produkt 1 . 2 .^3 . 4 ... 100 den Factor 2^. Z. 2.' Congruente Zahlen. 1. Definition. Wem: die Differenz zweier Zahlen a, d durch eine dritte Zahl m A _ theilbar, wenn also ——— eine g…

- 55 - bekannte enthalten und vom ersten, oder zweiten u. s. w. Grade in Beziehung auf die Unbekannten sein. So ist 3x 7 (moä. 11) eine Congruenz ersten Grades mit einer Unbekannten, 5x 37 8 (moä. 13) eine Congruenz ersten Grades mit zwei U…

- 16 — 'Beispiel: Aus 17 5, 19 - 5 (moä. 12) folgt durch Subtraction - 2 10 (moä. 13). A _ IV. Ist a d (moä. m), also g, so muß a mg d sein. Daher kann man statt der Congruenzen ai di, dz, . . ., dn (moä. m) die Gleichungen s.i di -jgi m, a…

— 17 — eine ganze Zahl sein. Hierzu ist erforderlich, da <5 und relative Primzahlen sind, daß in (c-? — A aufgehe, d. h. daß « /? (moä. sei. Wenn also beide Glieder einer Congruenz a d (m0ä. in) einen ge:neinschaftlichen Divisor ä haben, de…

— 18 — IV. Für dm Modul 13 ist 10 — 3, 1 - 12, folglich? - 12a — 3d - 3 (d -j- 4a), und wenn? durch 13 Heilbar sein soll, so muß 13 in 1) -j- 4a aufgehen. Untersucht man mit Rücksicht hierauf die Zahl 701064, so erhält man der Reihe nach di…

(moä. 16) — 19 - Eine Auflösung der Congruenzen 13x — 7> -- 10 0 6x -j- 9^ -s- 11 0 ist x 3, 7 11. 7. Umformung einer Congruenz. Man kann eine Congruenz ^x" -I- Lx"'' ->- Ox^' ->-...->- M -j-? 0 (moä. m) dadurch auf eine andere Form bringen…

— 20 - Beweis. Die gegebene Congruenz ist der Gleichung ax ---- d -jm^ äquivalent, wo 7 eine beliebige ganze Zahl bezeichnet. Hieraus erhält man ax — m? ---- d und, durch Division mit ä, a m _ d? " ä^ " ä' Die linke Seite dieser Gleichung i…

— 21 — Wir wollen jetzt die ganzen Zahlen bestimmen, welche, für x eingesetzt, der Gleichnng genügen : Durch Division mit a erhält man darin bezeichnen jS, die Quotienten und e, ä die kleinsten Reste von d, w für den Divisor a.. Da x, A ^, …