Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 5

denn eine solche würde nachdem vorhergehenden Zusatz nicht in a." . . ., d. h. nicht in aufgehen. Ebenso kann dem zweiten System keine Primzahl des ersteren fehlen; denn eine solche würde nach demselben Zusatz nicht in das Produkt der Zahlen des zweiten Systems, d. h. nicht in aufgehen. Beide Systeme könnten sich also nur dadurch unterscheiden, daß ein und dieselbe Primzahl in dem einen einen größeren Exponenten als in dem anderen hätte. Es sei x eine solche Primzahl, welche im einen System den Exponenten m, im anderen einen größeren Exponenten m -jn hat. Dann würden wir für die Zahl — zwei Zerlegungen haben, von denen die eine die Primzahl x gar nicht, die andere den Factor x° enthielte, was, wie bereits gezeigt, unmöglich ist. Beide Zerlegungen stimmen also auch hinsichtlich der Exponenten vollständig überein. 6. Divisoren einer Zahl. Hat man eine Zahl m auf die Form m a." . . . gebracht, so ist es leicht, ihre sämmtlichen Divisoren anzugeben. m hat zunächst des Factors g.« wegen die (« 1) Divisoren (I) 1, a., a.^, a^, . . . s.". Weil m ferner den Factor enthält, so geht auch jede Zahl in m auf, die entsteht, wenn man die Zahlen (I) der Reihe nach mit d, d^, . . ., multivlicirt. Man erhält auf diese Weise aus jeder der Zahlen (I) /?, also im Ganzen (« -j- 1) /5 neue Divisoren von in, nämlich (II) d, ad, a-b, . . ., a«d; d-, ^2. . . . d^, ad^, a^, . . a.«d^ und die Gesammtzahl der Divisoren, die nur aus a und d gebildet sind, ist (« > 1) -l- 1) /5 (« 4- 1) (/5 ^- 1). Dazu kommen noch, mit Rücksicht auf den Factor ealle Zahlen, die man erhält, wenn man die (a? -j- 1) (/5 1) Zahlen (I) und (II) der Reihe nach mit e, e^, . . ., multiplicirt. Dies liefert (« >i-?)(/?->- 1) neue Divisoren. Man hat dann im Ganzen (« 4- 1) (F4. 1) ^. (« Y (/5 -> 1) 7 (« 4- 1) (^ 1) (7 4- 1) Divisoren. Durch Fortsetzung dieser Schlüsse erkennt man, daß eine Zahl w - . . genau (« ^- 1) (/S 4. i) (7 ^. i) ...(-- ^. i) Dwisoren hat. Dieselben sind, wie man leicht sieht, sämmtliche Glieder des Produkts (1 a 52 . z«) (i h 52 Beispiel. Die Zahl 504 ^- 2^ . 32 . 7 hat 4 2 24 Dwisoren, nämlich: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 8^, 126, 168, 252, 504. 7. Der größte gemeinschaftliche Divisor mehrerer Zahlen. Der größte gemeinschaftliche Divisor mehrerer in ihre Primzahlfactoren zerlegli-r Zahlen w, n u. s. w. wird gefunden, indem man jede Primzahl nimmt, die allen diesen Zahlen gemeinschaftlich ist, ihr den