Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 16

— 17 — eine ganze Zahl sein. Hierzu ist erforderlich, da <5 und relative Primzahlen sind, daß in (c-? — A aufgehe, d. h. daß « /? (moä. sei. Wenn also beide Glieder einer Congruenz a d (m0ä. in) einen ge:neinschaftlichen Divisor ä haben, der prim zu m ist, so kann man beiderseits durch ä dividiren und erhält eine für denselben Modul w richtige Congruenz. So folgt aus 26 12 (moä. 7) die Congruenz 13 6 (moä. 7). Hat aber ä mit dem Modul iu den größten gemeinschaftlichen Divisor äi, so gilt die durch jene Division erhaltene neue Congruenz nur für deu Modul - Aus 28 16 (moä. 6) folgt 7^4 (inoä. 3, nicht moä. 6). 5. Anwendungen. Die vorhergehenden Sätze finden im gewöhnlichen Rechnen vielfache Anwendung. Zunächst ergeben sich aus ihnen die verschiedenen Regeln, nach denen man entscheidet, ob eine vorgelegte Zahl durch gewisse Zahlen theilbar ist oder nicht. Es sei nämlich? eine Zahl, welche a Einer, d Zehner, e Hunderte, u. s. w. enthält, also? a 10d 100 e -j- . . . . Ist dann für einen Modul m 10 ot, 100 A u. s. w., so gibt?, durch iu dividirt, denselben Rest wie a --s- -j- A -s- . . ., und wenn diese letztere Zahl durch m theilbar ist, so muß auch? durch m theilbar sein. Beispiele: I. Sowohl für den Modul 3, als auch für den Modul 9 ist 10 100 1000 . . . 1, folglich x a d e > . . und diese Formel drückt den bekannten Satz aus, daß jede Zahl bei der Division durch 3 oder 9 denselben Rest wie ihre Quersumme läßt. II. Für den Modul 11 ist 10 — 1, 100 ->- 1, 1000 — 1, u. s. w., folglich?^a — b-j-eä-j-..., und mittels dieser Formel kann man untersuchen, ob eine Zahl durch 11 theilbar ist. III. Es sei hier und in den folgenden Beispielen die Zahl? a 4- 10d, wo a die Anzahl der Einer und k die Zahl bezeichnet, die aus? bei Fortlassung der Einer wird. Nun ist für den Modul 7 10 — 4, 1 8, folglich? 8a — 4d - 4 (d - 2a), und wenn? durch 7 theilbar sein soll, so muß b—2a durch 7 theilbar sein. So ist 2422 durch 7 theilbar, wenn 7 in 242 — 4 238 aufgeht, „ 238 „ „ „ „ „ ,, 23 16 ---^ 7 „ , uud da 7 durch 7 theilbar ist, so ist auch 2422 durch 7 theilbar. 3