Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 2

Einführung in die Zahlentheorie. Die nachstehende Arbeit soll den Schülern der beiden ersten Classen unserer Schule Gelegenheit geben, sich durch Privatstudium mit den Elementen der Zahlentheorie (der Lehre von den Eigenschaften der ganzen Zahlen) vertraut zu machen, eines Zweiges der Mathematik, auf den beim Unterricht an Realschulen, die ihren Zöglingen eine mehr auf das praktische Leben gerichtete Vorbildung zu geben haben, kein Gewichi gelegt werden kann. H. 1. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. 1. Definition. Jede Zahl a läßt sich durch sich selbst und durch die Einheit ohne Rest theilen, hat also wenigstens zwei Divisoren, nämlich 1 und Eine Zahl, weiche nur diese beiden Divisoren zuläßt, wird eine absolute Primzabl oder schlechtweg eme Primzahl genannt. Eine Zahl, die dieser Definition nicht entsprich:, ynßt zusammengesetzt. Eine Primzahl ist z. B. 13; dagegen ist die Zahl 15 zusammengesetzt, da sie außer 1 und 15 auch noch die Divisoren 3 und 5 hat. 2. Ermittlung der Primzahlen. Die einzige gerade Primzahl ist; alle übrigen Primzahlen sind ungerade. Daher hat man, um die Primzahlen zu ermitteln, uur die ungeraden Zahlen 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, u. s. w. ins Auge zu fassen. Aus dieser Reihe scheidet man nach einem dem Eratosthenes (250 v. Chr.) zugeschriebenen Verfahren („Sieb des Eratosthenes") die zusammengesetzten Zahlen in folgender Weise aus: Man streicht, mit 3 beginnend, die 3^, 6^, 9^ u. s. w. Zahl aus; dadurch fallen offenbar alledurch 3 theilbaren ungeraden Zahlen, nämlich 9, 15, 21, 27 u. s. w. weg. Darauf streicht man, mit 5 deginnend, die 5", 10^, 15^ u. s. w. Zahl aus, wobei die bereits weggefallenen Zahlen mitzuzählen sind, und entfernt dadurch alle durch 5 theilbaren ungeraden Zahlen 15,