Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 19

— 20 - Beweis. Die gegebene Congruenz ist der Gleichung ax ---- d -jm^ äquivalent, wo 7 eine beliebige ganze Zahl bezeichnet. Hieraus erhält man ax — m? ---- d und, durch Division mit ä, a m _ d? " ä^ " ä' Die linke Seite dieser Gleichung ist der Voraussetzung nach eine ganze Zahl. Tie Gleichung, folglich auch die Congruenz, ist somit unmöglich, wenn ein Bruch ist, d. h. wenn ä nicht in d aufgeht. Lehrsatz III. Wenn der größte gemeinschaftliche Divisor ä von a und m auch in d aufgeht, so hat die Congruenz ax d (moä. m) ä incongruente Wurzeln. Beweis. Nach Z. 2, 4, V. geht die vorgelegte Congruenz über in a. s 5 (^^'?) - Da prim zu ist, so hat diese letztere Congruenz nach Lehrsatz I eine einzige Wurzel, die wir v nennen wollen. Die gegebene Congruenz hat dann die ä verschiedenen (nach dem Modul m incongruenten) Wurzeln . m . 2m . (ä—1)m ä^^"-^ Beispiele. Die Congruenz 5x 7 (moä. 12) hat nur die Wurzel x — 1. Die Congruenz 6x 7 (moä. 12) ist unmöglich. Die Congruenz 9x 6 (moä. 15) ist möglich, weil der größte gemeinschaftliche Divisor 3 von 9 und 15 auch in 6 aufgeht. Durch Division erhält man 3x 2 (moä. 5). Diese Congruenz hat die eine Wurzel x — 1; die gegebene Congruenz wird also durch 3 verschiedene Werths, nämlich durch — 1, — 1-^-5^-4, — 1-j-2. 5^9 befriedigt. 2. Auflösung der Congruenz ersten Grades mit einer Unbekannten. Nachdem wir untersucht haben, unter welchen Bedingungen die Congruenz ax d (moä. m) möglich ist, und wie viele Wurzeln sie in jedem Falle hat, wollen wir diese Wurzeln bestimmen lernen. Wir können dabei gleich g. als prim zu m annehmen; denn ein etwa vorhandener gemeinschaftlicher Divisor würde sich (Z. 3, 1, Lehrsatz III) durch Division entfernen lassen. Die vorgelegte Congruenz ist gleichbedeutend mit der Gleichung ax — b -jm^, wenn darin 7 eine unbekannte ganze Zahl bezeichnet. Diese Gleichung ist unbestimmt, da sie zwei Unbekannte x, 7 enthält. Sie läßt im Allgemeinen unendlich viele Auflösungen zu, da man 7 jeden beliebigen Werth beilegen und mittels der Gleichung den zugehörigen Werth von x berechnen kann. Wenn man sich aber aus ganze und (wie es meist geschieht) positive Werthe der Unbekannten beschränkt, so wird die Anzahl der Lösungen verringert. Gewöhnlich sind in den Aufgaben, die zu unbestimmten Gleichungen führen, und die man nach dem berühmten Mathematiker Diophantus diophantische Aufgaben nennt, noch gewisse nicht in Gleichungen umzusetzende Umstände angegeben, welche die Zahl der Lösungen gleichfalls verkleinern.