Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 18

(moä. 16) — 19 - Eine Auflösung der Congruenzen 13x — 7> -- 10 0 6x -j- 9^ -s- 11 0 ist x 3, 7 11. 7. Umformung einer Congruenz. Man kann eine Congruenz ^x" -I- Lx"'' ->- Ox^' ->-...->- M -j-? 0 (moä. m) dadurch auf eine andere Form bringen, daß man jeden Coefsicienten ^, L, . . .,? durch seinen kleinsten Rest für den Modul vi ersetzt. Die Zulüssigkeit dieser Umformung ergibt sich leicht aus Z. 2, 4. So ist die Congruenz 17x^ 12x' ->- 25x' -j- 20x -s- 49 0 (l»0ä. 12) gleichbedeutend mit 5x^ -j- — 4x -j- 1 0 (moä. 12). Z. 3. Congruenzen ersten Grades. 1. Bedingungen für die Lösbarkeit einer Congruenz ersteu Grades mit einer Unbekannten. Jede Congruenz ersten Grades mit einer Unbekannten läßt sich auf die Form ax d (moä. m) bringen, wo x die Unbekannte und a, d gegebene ganze Zahlen bezeichnen, von denen jede (Z. 2, 7) < m ist. Lehrsatz I. Wenn a prim zu m ist, so hat die Congruenz ax d (moä. m) stets eine, aber auch nur eine Wurzel. Beweis. Wir betrachten die Reihe der Produkte a, 2a, 3a., . . ., (m- 1) a.. Wäre eins derselben, etwa ka., 0 (moä. in), so müßte A 1, 8, Lehrsatz IZ, da a. oriin zu m ist,!k durch m theilbar sein, was uwnöglich ist. Ferner sind jene Produkte für den Modul W sämmtlich incongruent; denn hätte man I^a. (moä. w), so wäre nach H. 2, 4, V, k 1 (myä. m); zwei verschiedene Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . ., (m -1) können aber, durch m dividirt, nicht denselbell Rest geben. Ta somit die m—1 Produkte für den Modul m sänmülich verschiedene Reste geben, so müssen ihre Reste in irgend einer Reihenfolge mit den Zahlen 1, 2, 3, . . ., m—1 übereinstimmen, dergestalt daß jedes Produkt einer, aber auch nur einer dieser Zahlen congruent ist. Unter den letzteren befindet sich auch d. Es gibt also eine einzige Zahl, welche mit a multivlicirt für den Modul m den Rest d liefert. Anmerkung. Wenn der Modul der Congruenz eine Primzahl ist, so ist die Bedingung des vorhergehenden Satzes stets erfüllt. Lehrsatz II. Die Cougrueuz ax d (nwä. m) ist unmöglich, wenn der größte gemeinschaftliche Divisor ä von a. und m nicht auch in d aufgeht. 3*