Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 6

kleinsten Exponenten gibt, den sie in einer dieser Zahlen hat, und die so erhaltenen Potenzen multiplicirt. Beispiel: Die Zahlen 504 2» . 32 . 7, 240 2^ . 3 . 5, 864 2» . 3» haben den größten gemeinschaftlichen Divisor 2° . 3 24. Aufgabe I. Den größten gemeinschaftlichen Divisor zweier Zahlen s. und d < a. zu bestimmen, die nicht in ihre Primzahlfactoren zerlegt sind. 1. Fall. Wenn die Zahl k in a. aufgeht, so ist sie, da sie auch in sich selbst aufgeht, ein gemeinschaftlicher Divisor von 3. und d; sie ist aber auch der größte gemeinschaftliche Divisor, weil keine größere Zahl als d in d aufgehen kann. 2. Fall, k geht nicht in a. auf. Erhält man bei der Division zweier beliebigen Zahlen « und /? einen Quotient x und einen Rest ^, so ist « /5" -i-? < A und man erkennt leicht, daß der größte gemeinschaftliche Divisor von ce und /5 mit dem größten gemeinschaftlichen Divisor von jS und übereinstimmt. Dies vorausgesetzt, dividiren wir mit d in 3., mit dem Rest e (der kleiner als d ist) in d, u. s. w. und erhalten, da die Reste immer kleiner werden, also endlich einmal der Rest Null erscheinen muß, die Gleichungen 3. dg -je d er -sä l Zu k s dv. Da nun die Zahlenpaare 3. und d, d und e, e und ü, u. s. w., Z und k denselben größten gemeinschaftlichen Divisor haben, und da der größte gemeinschaftliche Divisor des letzten Paars d ist, so ist k auch der größte gemeinschaftliche Divisor von a. und d. Aufgabe II. Den größten gemeinschaftlichen Divisor mehrerer Zahlen a, d, e, u. s. w. zu bestimmen, die nicht in ihre Primzahlfactoren zerlegt sind. Man ermittle zunächst den größten gemeinschaftlichen Divisor ä der beiden Zahlen 2. und d, und sodann den größten gemeinschaftlichen Divisor von ä und e, so ist der größte gemeinschaftliche Divisor der drei Zahlen 3., d, e; denn geht in e und, weil in ä, auch in a und d auf, ist also ein Divisor von a, d, e. Hätten nun die drei Zahlen 3., d, e einen gemeinschaftlichen Divisor v, der größer als wäre, so würde v in e und, weil in 3. und b, auch in ä aufgehen, d. h. e und ä würden einen gemeinschaftlichen Divisor v haben, der größer als der größte gemeinschaftliche Divisor beider Zahlen ist. Es muß also der größte gemeinschaftliche Divisor von 3., d, e sein. Man sieht leicht, wie man durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens den größten gemeinschaftlichen Divisor beliebig vieler Zahlen bestimmen kann. 8. Relative Primzahlen. Zwei Zahlen heißen prim zu einander oder relative Primzahlen, wenn ihr größter gemeinschaftlicher Divisor die Einheit ist. 15 und 8 sind prim zu einander, 15 und 12 nicht. Lehrsatz I. Wenn die Zahlen a. und d prim zu einander sind, so geht jeder gemeinschaftliche Divisor von ak und d in k auf.