Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 17

— 18 — IV. Für dm Modul 13 ist 10 — 3, 1 - 12, folglich? - 12a — 3d - 3 (d -j- 4a), und wenn? durch 13 Heilbar sein soll, so muß 13 in 1) -j- 4a aufgehen. Untersucht man mit Rücksicht hierauf die Zahl 701064, so erhält man der Reihe nach die neuen Zahlen 70123, 7020, 702, 78, 39, und da 39 durch 13 Heilbar ist, so ist es auch jede der vorhergehenden Zahlen. V. Für den Modul 19 ist 10 — 9, 1 — 18, folglich I> — 18a — 9d — 9 (d -j- 3a). Die Nnwendung dieser Formel bietet nach dem Vorhergehenden keine Schwierigkeit. Sie leitet aus der Zahl 16536194 der Reihe nach 1653627, 165376, 16549, 1672, 171, 19 her, und da die letzte durch 19 theilbar ist, so sind es auch alle vorhergehenden. In ähnlicher Weise könnte man für andere Divisoren Regeln herleiten; doch ist es meist zweckmäßiger, die Division selbst auszuführen, als derartige Regeln anzuwenden. Die oben hergeleiteten Sätze lassen noch eine andere Anwendung zu. Hat man nämlich eine Reihe von Zahlen durch Addition, Subtraction oder Multiplication vereinigt, so ersetze man, um das Resultat zu prüfen, jene Zahlen durch ihre Reste für irgend einen Modul (am zweckmäßigsten 9 oder 11). Vereinigt man nun diese Reste in der vorgeschriebenen Weise, so muß das Resultat, wenn die Rechnung richtig ist, denselben Nest wie das anfänglich erhaltene liefern. 6. Wurzeln von Kongruenzen. Bezeichnen H., L, 0, . . .,? gegebene ganze Zahlen und v eine positive ganze Zahl, so ist ^x° -j- Lx^' ex"'- -I- . . . -l- Nx 4-? o (M0ä. m) eine Congruenz Grades mit einer Unbekannten x. Wenn jeder der Coefficienten H., L, . . .,? durch den Modul m theilbar ist, so wird die Congruenz durch jeden Werth von x befriedigt; in diesem Falle nennt man sie eine identische Congruenz. Die Congruenz ist unmöglich, d. h. es gibt keinen Werth von x, der ihr genügt, wenn alle Coefficienten mit Ausnahme von? durch m theilbar sind. Wenn weder das eine noch das andere stattfindet und Xi eine Zahl ist, nach deren Einsetzung an die Stelle von x die linke Seite der Congruenz durch m theilbar ist, so nennt man x, eine Wurzel der Congruenz. So ist 2 eine Wurzel von 3x 7 o (moä. 13); denn 3 . 2 -s- 7 13 ist durch 13 theilbar. Hat eine auf den Modul m bezügliche Congruenz eine Wurzel Xi, so wird sie nach Z. 2, 4 auch durch jede der unendlich vielen Zahlen befriedigt, welche Xi nach den: Modul m congruent sind. Die linke Seite der vorhergehenden Congruenz wird z. V. durch 13 theilbar, wenn man statt x eine der Zahlen 15, 28, 41, 54 u. s. w. oder — 11, — 24, u. s. w. einsetzt. Alle diese Zahlen sieht man aber nur als eine einzige Wurzel an, und die verschiedenen Wurzeln einer Congrueuz bestimmen, heißt die incongruenten Zahlen ermitteln, welche der Congruenz genügen. Enthält eine Congrueuz mehrere Unbekannte x, z^, . . ., oder liegen mehrere Congrnenzen mit mehreren Unbekannten vor, so bilden die zusammengehörigen Werthe Xi, 71, . . ., welche gleichzeitig allen Congruenzen genügen, eine Auflösung derselben. Beispiel. Eine Auflösung der Congruenz 3x -I- 5? -I- 6 0 (moä. 17) istx 2, 5 1.