Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 7

Beweis. Da a und d relative Primzahlen find, so gelangt man bei den in (7), Aufgabe I angegebenen Divisionen zum Rest 1, erhält also die Gleichungen a. — dcz -je b er -jä L Werden dieselben sämmtlich mit k multiplicirt, so verwandeln sie sich in dgk -jdl! — erk Kuk Daraus erkennt man, daß ein gemeinschaftlicher Divisor von a.k und d auch in ek, folglich auch in äk, u. s. w., endlich auch in aufgehen muß. Ist im Besondern ak durch d theilbar, so muß auch k durch d Heilbar sein. Lehrsatz II. Wenn jede der beiden Zahlen a, k prim zu d ist, so ist auch das Produkt ak prim zu d. Beweis. Ein gemeinschaftlicher Divisor von und d müßte, da a vrim zu d ist, nach Lehrsatz I in aufgehen, während k prim zu d sein soll. Zusatz. Potenzen relativer Primzahlen sind prim zu einander. Beweis. Ist a prim zu d, so ist nach Lehrsatz II auch a^, folglich nach demselben Satze auch s.2, u. s. w., allgemein prim zu d. Auf dieselbe Weise folgt aus der Annahme, d sei prim zu a", daß auch d^, d^, allgemein d" prim zu ist. Mithin sind a", d" relative Primzahlen. 9. Das kleinste Vielfache mehrerer Zahlen. —Liegen mehrere Zahlen 3. d, e, u. s. w. vor, so nennt man die kleinste Zahl, welche durch jede derselben theilbar ist, das kleinste Vielfache von a, d, e, u. s. w. Wenn die Zahlen a, d, e, u. s. w. in ihre Primfactoren zerlegt sind, so bildet man das kleinste Vielfache auf folgende Weise: Man nimmt jede Primzahl, die in einer der Zahlen a., d, e, u. s. w. vorkommt, gibt ihr den größten Exponenten, den sie in einer derselben hat, und bildet das Produkt aller so erhaltenen Potenzen. So z. B. ist für die Zahlen 504 2" . 32 . 7, 240 ^^.3.5, 864 2» . 3^ das kleinste Vielfache . 35 . 5 . 7 ^- Z0240. Wir wollen jetzt zeigen, wie man das kleinste Vielfache gegebener Zahlen ermittelt, ohne ihre Primzahlfactoren zu benutzen. Aufgabe I. Das kleinste Vielfache zweier Zahlen a, d zu finden. 1. Fall. Wenn a und d prim zu einander sind, so ist das Produkt ad das kleinste Vielfache beider Zahlen. Beweis. Das kleinste Vielfache muß durch a. theilbar, also von der Form ak sein, wo k eine beliebige ganze positive Zahl ist. a-k soll nun aber auch durch d theilbar sein, und da a prim zu d ist, so muß d nach (8), Lehrsatz I in k aufgehen, also k dl sein, wo 1 irgend