Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 4

Zahlen gibt, die kleiner als m sind, so muß die Reihe der Operationen einmal ein Ende nehmen. Jede zusammengesetzte Zahl kann also als das Produkt von Primzahlen dargestellt werden. Es ist z. B. 60 2 . 2 . 3 . 5. Tritt in der Zerlegung einer Zahl iv eine Primzahl a wiederholt, etwa o; mal, als Factor auf, so schreibt man statt der « Factoren a einfach die Potenz a". Ebenso verfährt man mit den übrigen Primzahlfactoren d, e u. s. w., die beziehungsweise A / u. s. w. mal vorhanden sein mögen.?ann wird die Zahl m auf die Form m e7 . . . gebracht, wo a, d, e u. s. w. ungleiche Primzahlen, / u. s. w. ganze positive Zahlen bezeichnen. Beispiel : 504 2^ . 3- . 7. Wir haben nun Zu beweisen, daß jede zusammengesetzte Zahl nur auf eine Weise in Primzahlfactoren zerlegt werden kann. Dieser Beweis beruht auf folgenden Sätzen: Lehrsatz I. Das Produkt zweier positiven Zahlen, die kleiner als eine Primzahl p sind, ist durch x nicht theilbar. Beweis. Wir nehmen an, es gebe zwischen 1 und p mehrere Zahlen d, e, ä u. s. w. von der Beschaffenheit, daß das Produkt einer jeden in die demselben Intervall angehörende Zahl a durch x theilbar sei. Die kleinste der Zahlen d, e, ä u. s. w. seid. Nun muß erstens d >> 1 sein; denn für d — 1 wäre ad — a, also a der Voraussetzung zuwider durch p theilbar. Ferner kann d nicht in x aufgehen, da x eine Primzahl ist. Wir werden also, wenn wir x durch d dividiren, einen Quotienten H und einen Rest r erhalten, der von Null verschieden und kleiner als d ist; es ist dann p dy -jr, folglich ap ady -jar. Nun ist offenbar ax uud (der Boraussetzung nach) auch ady durch p theilbar; p muß daher auch in ar aufgehen, d. h. r muß sich unter den oben angegebenen Zahlen d, e, ä u. s. w. vorfinden. Unsere Annahme, d sei die kleinste dieser Zahlen, führt also zu dem Resultat, daß es noch eine kleinere Zahl r von derselben Beschaffenheit gibt. Es gibt also überhaupt keine Zahl zwischen 1 und x, deren Produkt in a durch x theilbar wäre. Lehrsatz II. Wenn weder a noch d durch x theilbar ist, so ist auch das Produkt ad durch x nicht theilbar. Beweis. Wir dividiren jede der beiden Zahlen a, d durch p und nennen die erhaltenen Quonenten ^, L, die erhaltenen Reste A so ist a x d P L -j- A also ad (x> L -j- « L /5 ^) x > n/5. Wäre nun ad durch x theilbar, so müßte x offenbar auch in «/5 aufgehen. Das ist aber, da jede der Zahlen «, /5 kleiner als x ist, nach Lehrsatz I. unmöglich. Zusatz. Wenn keine der Zahlen a, d, e, ä u. s. w. durch x theilbar ist, so ist auch das Produkt adeä . . . durch x nicht theilbar. Beweis. Nach Lehrsatz II. ist ad nicht durch p theilbar; folglich geht (nach demselben Satze) p auch nicht in ad . e ade auf, u. f. w. Mit Hülfe dieser Sätze beweist man leicht den oben ausgesprochenen Lehrsatz III. Jede zusammengesetzte Zahl kann nur auf eiue Weise in Primzahlfactoren zerlegt werden. Beweis. Angenommen, die Zahl a" d^ . . wo a, d, e u. s. w. ungleiche Primzahlen sind, sei noch auf eine zweite Weise in Primzahlfactoren zerlegt worden. Dann kann das zweite Factoren-Sustem keine Primzahl enthalten, die sich nicht auch im ersteren vorfindet;