Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 3

— 4 — 25, 35 u. s. w. Ebenso verfährt man weiter mit 7, 11, 13 u. s. w. Die bei dieser Operation stehen gebliebenen Zahlen sind die sämmtlichen in dem betrachteten Gebiete vorhandenen Primzahlen. Es fragt sich nun, welches die letzte Primzahl ist, mit der man diese Abzählung beginnen muß, um alle Primzahlen bis zu einer gewissen Grenze a zu erhalten. Das ergibt sich aus folgender Bemerkung: Wenn eine zwischen 1 und a. liegende Zahl d das Produkt zweier Factoren m, u ist (d w. v), von denen der eine mehr als -j/ä beträgt, so muß der andere kleiner als sein. Die Zahl d fällt demnach bei dem obigen Verfahren schon durch die mit dem kleineren Factor beginnende Abzählung weg, und es ist überflüssig, die AbZählung von dem größeren Factor aus vorzunehmen. Die letzte Zahl, von der aus man abzuzählen hat, um alle zwischen 1 und a liegenden Primzahlen zu finden, ist also die größte Primzahl, welche kleiner oder gleich ist. Beispiel: Da ^/M ---- 10 und 7 die größte Primzahl ist, die nicht größer als 10 ist, so hat man, um alle Primzahlen bis 100 zu erhalten, in der oben dargelegten Weise nur mit den Zahlen 3, 5, 7 zu verfahren. Man erhält, wenn die wegfallenden Zahlen in Klammern gesetzt werden, 3, 5, 7, ^, 11, 13, M, 17, 19, IM, 23, sM, P7Z, 29, 31, W), IM, 37, IM, 41, 43, IM, 47, ft9Z, IM, 53, IM, IM, 59, 61, IM, ^65), 67, IM, 71, 73, l75Z, lM, 79, IM, 83, fiq, IM, 89, P1^, P3Z, M, 97, Es gibt also zwischen 1 und 100 folgende 25 Primzahlen: 2. 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 3. Anzahl der Primzahlen. Lehrsatz. Es gibt in der natürlichen Zahlenreihe unendlich viele Primzahlen. Beweis. Wäre die Anzahl der Primzahlen eine endliche, so müßte eine derselben, etwa x, die größte und jede über x hinausliegende Zahl zusammengesetzt sein. Würde dann das Produkt aller vorhandenen Primzahlen 2, 3, 5, . . ., x gebildet und dies Produkt um eine Einheit vergrößert, so erhielte man eine Zahl ^. 2 . 3 . 5. . . x -j- 1, welche augenscheinlich größer als x und durch keine der Primzahlen 2, 3, . . ., p theilbar ist, da sie bei der Division durch jede dieser Zahlen den Rest 1 läßt. wäre also entweder selbst eine Primzahl oder durch über x hinausliegende Primzahlen theilbar. Unsere Annahme, p sei die größte Primzahl, führt somit zu dem Ergebniß, daß es noch eine größere Primzahl gibt. Die Reihe der Primzahlen ist daher, wie die natürliche Zahlenreihe, unbegrenzt. 4. Aufeinanderfolgeoer Primzahlen. Ein Gesetz, nach welchem die Primzahlen aufeinander folgen, ist nicht entdeckt worden. Ebenso wenig ist es gelungen, allgemein zu bestimmen, wie viele Primzahlen Zwischen beliebig gegebenen Grenzen liegen, trotzdem bedeutende Mathematiker sich nicht ganz ohne Erfolg mit dieser Frage beschäftigt haben. 5. Zusammengesetzte Zahlen. Eine zusammengesetzte Zahl m läßt sich der Definition nach als das Produkt zweier Factoren darstellen, von denen jeder kleiner als in ist. Jeder Factor ist entweder eine Primzahl oder zusammengesetzt. Im letzteren Falle läßt er sich wieder in zwei Factoren zerlegen, von denen jeder kleiner als er selbst ist. Auf diese Weise fortfahrend, muß man endlich zu Zahlen gelangen, die nicht weiter zerlegt werden können, d. h. zu Primzahlen; denn man kommt zu immer kleineren Factoren, und da es nicht unendlich viele ganze