— 22 — 3. Abkürzung der Rechnung bei zusammengesetzten Moduln. Wenn der Modul eine zusammengesetzte Zahl um . . . ist, so läßt sich die Auflösung der Congruenz (1) ax d (moä. mn. . .) vereinfachen. Da ax — d durch um . . . theilbar sein sol…

— 33 — 4. Aufgaben. I. Welche Zahl gibt, durch 5 dividirt, 2, und durch 6 dividirt, 5 Zum Nest? Die gesuchte Zahl 2 muß die Form 5 x -s- 2 haben und zugleich für den Modul 6 congruent 5 sein, 0. h. es ist 5 x 2 5 (moä. 6), 5 x 3 (mod. 6). D…

— 24 — Nun soll 7 eine der Zahlen 0,?, I, . . ., 9 sein. Der Bruch kann also nur einen solchen Werth haben, der, mit 12 multivlicirt, kleiner als 200 und nicht kleiner als 190 ist. Der einzige Werth von dieser Beschaffenheit ist 16. Wir erh…

— 25 — und daraus der Reihe nach u 7 1 17 2 -I- 11, 7 2 2 -z- 1 - 11 11 k — 1 i, k 5 i 1, 2 11 L -j- 2, x 187 i 4- 45. 5 Wird dieser Werth in die dritte Gleichung eingesetzt, so folgt weiter 5i->-4 12 12 u 4- 1 187 L -j- 45, u 16 i 4 — 5i>4…

— 26 — Es ist also l 49 20 (nwä. 3), i 2 « 1 (woä. 3), 49 15 /? (moä. 4), oder 3/5^1 (moä. 4), s 49 12 7 (moä. 5), s 2 (moä. 5). Die Wurzeln dieser Congruenzen sind «--2-j-3lc, /S--34-4!, ^---24-5ili, wo ^, 1, m unbestimmte Größen sind, dur…

— 27 — x Mark der ersten, 7 Mark der zweiten und 2 Mark der dritten Sorte sollen zusammen 30 . 12 360 Löth Silber enthalten. Es müß also 14 x -l- 11 7 9 2 ---- 360 sein. Hieraus folgt 2 v -I- 5 x 9 2 ----- 360 — 14 x — 11 7, 2 ----- 40 -- x…

— 28 — III. Für i — 3 ist x ---- k -> 6, 7 ----- 2 k — 15, 2 — 49 - 4 Zc; kann also ----- 8, 9, 10, 11, 12 sein, so daß wir die 5 Lösungen x ----- 14, 7 1, 2 ----- 17 x ----- 15, 7 ----- 3, 2 ----- 13 x ----- 16, 7 ---- 5, 2 ----- 9 x 17, 7…

— 29 — geführt werden, und durch Elimination eine Gleichung zu bilden, welche m — 1 der Unbekannten nicht mehr enthält. Mit dieser Gleichung ist dann auf die in (2) angegebene Weise zu verfahren. U. s. w. Ebenso behandelt man Aufgaben, die …

- 30 — 8. Lehrsatz. Eine Congruenz, deren Modul eine Primzahl ist, besitzt höchstens so viele Wurzeln, als ihr Grad Einheiten enthält. Beweis. Wir nehmen an, die Congruenz x" -s- L x"^' -j- . . . N x 0 (moä. x) besitze mehr als m, also weni…

— 31 - theilbar sein, d. h. kein Glied der Reihe (I) kann den Rest Null haben. Die Reste der Potenzen (I) müssen also Zahlen der Reihe (II) 1, 3, 3, . . ., (p-1) sein. Unter den p ersten Gliedern von (I) werden sich daher jedenfalls zwei ve…

— 32 — 4. DerFermat'scheSatz. — Bezeichnet a eine beliebige durch die Primzahl x> nicht theilbare ganze Zahl, so ist 3^ 1 (moä. p). Beweis. Wir betrachten die Produkte, die man erhält, wenn man jede der Zahlen (I) 1, 2, 3, . . ., x-1 mit a …

— 53 - So könnten wir in Beziehung auf noch andere Primzahlen verfahren. Eine aufmerksame Betrachtung der gewonnenen Resultate führt zu dem Satze: Lehrsatz: Ist ä ein beliebiger Divisor von x—1 und bezeichnet, wie früher, (ä) die Anzahl der…

— 34 - Nun ist jedes Glied der linken Seite Null oder gleich dem entsprechenden Gliede der rechten Seite. Wäre also ein Glied (oder auch mehrere Glieder) der linken Seite Null, so könnte die Summe der übrigen Glieder nicht gleich der Summe …

— 35 — welchem ad gehört, nicht kleiner als vm sein kann. Wird dieser Exponent mit k bezeichnet, ist also (ad)" 1, so muß auch (ad)"", d. h. a^d°^ 1, oder, weil a" 1 ist (Vor.), d^ 1 (woä. p) sein. Nun gehört aber d zum Exponenten u; folgli…

i — 36 — Leichter wärm wir in diesem Falle durch bloße Benutzung der Potenzreste von H auf folgende Weise zum Ziele gelangt: — Die Reste der Zahl — 2 stimmen, abgesehen vom Vorzeichen, mit denen der Zahl 2 überein. Die Potenzreste von — 2 s…

— 37 — und 1000 die kleinste primitive Wurzel mit und versehen jede Primzahl, welche die für praktische Rechnungen vorteilhafte primitive Wurzel 10 hat, mit dem Zeichen * Primzahl Prim. Wrzl. Primzahl Prim. Wrzl. Primzahl Prim. Wrzl. Primza…

— 38 - 9. Jndiees. — Ist g eine primitive Wurzel von p, a eine beliebige durch p nicht Heilbare Zahl und a (moä. x), so nennt man i den Index von a für die Basis g. Da nun für jede ganze Zahl k ^w-») 1 (wyü. z>) ist, so wird auch . ß"^, d. …

zeigen zu können, lassen wir die beiden Tabellen folgen, welche sich auf die Primzahl 43 und auf die primitive Wurzel 3 beziehen. I. Zahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Index 42 27 1 12 25 28 35 39 2 10 30 Zahl 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Ind…

— 4ö — und endlich nach Tabelle II. x 15 (moä. 43). Es ist also x ----- 15 -j- 43 k, wo k eine unbestimmte Zahl bezeichnet, und man erhält für die Anzahl der Bäume 53 (15 -j- 43 k) — 10 ----- 785 53 . 43 K. Nun sollen nicht mehr als 1000 Bä…

Schu! nachrichten. ^. Chronik. Das neue Schuljahr wurde Montag 17. April v. I. eröffnet. Dem gewaltigen Kriege, dessen Erschütterungen auch' auf das Schulleben zurückwirkten, war der lang ersehnte Friede gefolgt. Die Kunde von dem hier zu F…