Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 8

eine ganze positive Zahl bedeutet. Die zugleich durch a und d theilbaren Zahlen haben also die Form adl und werden erhalten, wenn man 1 die Werthe 1, 2, 3, . . . annehmen läßt. Die kleinste dieser Zahlen entspricht dem Werthe 1 ----- 1 und ist gleich ad. 2. Fall. Haben a. und d einen größten gemeinschaftlichen Divisor ä, so ist das gesuchte Vielfache Beweis. Es sei s. ----- «ä, d ----- M, wo «, /5 relative Primzahlen sind. Dann ist jedes Vielfache von a. von der Form «äk. Soll dasselbe durch d ----- M theilbar sein, so muß /Sä in ttäk, d. h. /S in aufgehen, und da /S prim zu ist, k durch theilbar sein, k hat also die FormDie Vielfachen von a und d sind daher in dem Ausdruck «MI enthalten und ergeben sich, wenn man 1 der Reihe nach die Werthe 1, 2, 3, . . . beilegt. Das kleinste Vielfache entspricht dem Werthe 1 ----- 1 und ist «M----- ä . ----ä -/. ^-. da Aufgabe II. Das kleinste Vielfache beliebig vieler gegebenen Zahlen a, d, e, u. s. w. zu finden. Die Lösung dieser Aufgabe beruht auf dem folgenden Satze, dessen Wahrheit aus den obigen Entwicklungen erhellt: Wenn w das kleinste und N ein beliebiges Vielfache der beiden Zahlen a, d ist, so geht m in Al auf. Dies vorausgesetzt, bestimmen wir in der angegebenen Weise das kleinsteVielfache der beiden Zahlen a, d und darauf das kleinste Vielfache v von m und e; dann ist n das kleinste Vielfache der drei Zahlen a, k, e. Beweis. Da die durch a. und b theilbare Zahl m in v aufgeht, so geht jede der Zahlen a, d in u auf. u ist aber auch ein Vielfaches von e, also ein Vielfaches der drei Zahlen a, d, e. Es ist jetzt noch zu zeigen, daß u das kleinste Vielfache von a, d, e ist. Gäbe es eine kleinere Zahl welche durch a,^ d, e theilbar wäre, so müßte dieselbe, weil durch a und d, auch durch m, und, weil durch m und e, auch durch v theilbar sein. Das ist aber unmöglich, weil v kleiner als v ist. u ist also das kleinste Vielfache von a, d, e. Man sieht leicht, wie man durch Fortsetzung dieser Schlüsse das kleinste Vielfache beliebig vieler Zahlen bestimmt. - 10. Äie Function?)(m). Von besonderem Interesse ist es, zu bestimmen, wie viele Zahlen prim zu einer gegebenen Zahl vi und nicht größer als w sind. Die Anzahl dieser Zahlen pflegt man mit <x(m) zu bezeichnen. So gibt es eine Zahl, nämlich 1, welche prim zu 1 und nicht größer als 1 ist. Es ist folglich ^(1) ----- 1. Prim zu 6 und nicht größer als 6 sind die beiden Zahlen 1, 5; folglich ist 9,(6) ----- 2. Ebenso erhält man leicht?(2) 1,?(3) ----- 2,?(4) ----- 2, 7-(5) ----- 4, u. s. w. Um allgemein zu bestimmen, wie viele Zahlen prim zu m und nicht größer als m sind, denken wir uns w in seine Primzahlfactoren zerlegt, ms« e> . . ., 2