Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 20

— 21 — Wir wollen jetzt die ganzen Zahlen bestimmen, welche, für x eingesetzt, der Gleichnng genügen : Durch Division mit a erhält man darin bezeichnen jS, die Quotienten und e, ä die kleinsten Reste von d, w für den Divisor a.. Da x, A ^, 7 ganze Zahlen sind, so muß auch eine ganze Zahl 2 sein. Wir setzen also - ---- 2 und erhalten daraus —-, oder, wenn wir die Division mit ä in a. und e ausführen und die Quotienten mit 7, die kleinsten Neste mit 6, 5 bezeichnen, , 62 — L 5--- «2 — 7 -I--Z-- Mit dem Bruche ^-^—^ verfahren wir ganz ebenso, wie wir mit verfuhren. Da die Brüche, zu denen wir auf diese Weise gelangen, immer kleinere Zahlen zu Nennern haben (a >> ä >> u. s. w.), so muß endlich einmal der Nenner 1 auftreten. Die zuletzt erhaltene Gleichung bestimmt dann eine der Unbekannten vermittelst einer Größe, die unbestimmt bleibt, und durch eine Reihe von Substitutionen lassen sich rückwärts alle vorhergehenden Unbekannten, also zuletzt auch x, mittels derselben Unbestimmten ausdrücken. Die Rechnung wird erheblich abgekürzt, wenn man überall die absolut kleinsten Reste nimmt. Beispiel. Der Congruenz 15 x 11 (moä. 23) ist die Gleichung 15 x 11 -5- 23^ äquivalent. Diese liefert der Reihe nach 4 -l- 7> x 1 ->- 2^ 15 4 -I- 7> , 2-4 ^1^-2,^,24."^ 2 _ 4 —-— u, 2 4 ->- 7 u, und hieraus folgt 7 8 -s- 15u, x 13 4- 23u. Die Congruenz hat also die Wurzel 13. Anmerkung. Wenn der Modul in der Congruenz ax d (invcl. in) nicht sehr groß ist, so verfährt man zweckmäßig auf folgende Weise: Man schreibt die Reihe der Zahlen hin, welche für den Modul vi den Rest k geben und wählt die kleinste dieser Zahlen, die durch a. theilbar ist. Ist e diese Zahl, so hat die Congruenz die Wurzel Es soll z. V. die Congruenz 5x^8 (moä. 11) gelöst werden. Die Zahlen, welche durch 11 dividirt, den Nest 8 haben, sind 8, 19, 30, 41, u. s. w.; die gesuchte Wurzel ist also 6.