Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 32

— 53 - So könnten wir in Beziehung auf noch andere Primzahlen verfahren. Eine aufmerksame Betrachtung der gewonnenen Resultate führt zu dem Satze: Lehrsatz: Ist ä ein beliebiger Divisor von x—1 und bezeichnet, wie früher, (ä) die Anzahl der Zahlen, welche prim zu ä und nicht größer als ä sind, so gehören zum Exponenten ä genau P (ä) Zahlen. Beweis. Wir nehmen an, es gäbe eine Zahl a?, die zum Exponenten ä gehört, d. h. es sei aber keine niedrigere Potenz von « der Einheit congruem. Dann muß auch die Potenz jeder der ä Größen 1 (moä. x), d. h. eine Wurzel der Congruenz 1 (moä. p) sein, und da dieselbe 3, H nicht mehr als ä Wurzeln haben kann, so sind die angegebenen Größen die sämmtlichen Wurzeln. Jede zum Exponenten ä gehörende Zahl muß sich also unter den Größen «, vorfinden. Es gehören aber nicht alle diese Potenzen zum Exponenten 6, sondern nur diejenigen, deren Exponenten prim zu ä sind. Enthalten nämlich k und ä den größten gemeinschaftlichen Divisor «5, so ist schon d. h. o5 gehört zum Exponenten Ist dagegen k prim zu ä, so kann erst die ä*" Potenz von der Einheit congruent sein. In diesem Falle läßt sich nämlich jederzeit 3 (1) Lehrsatz 1^ eine Zahl in bestimmen, welche 'der Bedingung km 1 (moä. ä) genügt, so daß « (moä. x) ist. Wäre nun e ^. ä und schon 1 (M0Ä. x), so müßte auch 1 (moä. x) sein. Daraus würde aber «° 1 (moä. x) folgen, was unmöglich ist, da « zum Exponenten ä gehören soll. Wenn es also überhaupt eine Zahl gibt, die zum Exponenten ä gehört, so muß es (ä) solcher Zahlen geben, oder, wenn (ä) die Anzahl der Zahlen bezeichnet, die zum Exponenten ä gehören, so ist (ä) entweder Null, oder gleich (ä). Es habe nun p — 1 die i Divisoren ä^, ä,, äg, . . , ä;. Dann ist, well die Zahlen 1, 2, 3, . . ., x — 1 sämmtlich unter die Divisoren ä^, äz, . . . vertheilt sind, «, ä i/i (ä>) 4. (ä^) -j- . . . -i- (ä.) x - 1. Nach Z. 1, (11) Lehrsatz II. ist aber auch 7> (ä.) -I- (62) -l- . . . -1- (6.) x - 1, folglich ^, (ä0 (ä,) 4- - - - -1- V?> (ä.) -j- <y (S.) -j- . . . -i- (ä^). ö