Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 30

— 31 - theilbar sein, d. h. kein Glied der Reihe (I) kann den Rest Null haben. Die Reste der Potenzen (I) müssen also Zahlen der Reihe (II) 1, 3, 3, . . ., (p-1) sein. Unter den p ersten Gliedern von (I) werden sich daher jedenfalls zwei verschiedene Potenzen a.^ und ^-» befinden, welche denselben Rest liefen:, so daß » (moä. x) ist. Diese Congruenz darf, da s5 prim zu x ist, durch dividirt werden und geht dann über in 1 (moä. x) . ^0 /. u ^_ x^. 3. Der Exponent, zu welchem die Zahl a. für den Modul p gehört. — Der vorhergehende Satz lehrt, daß es zwischen 1 und x wenigstens eine Zahl u gibt, für welche a° 1 (moä. p) ist. Möglicher Weise sind aber mehrere Zahlen von dieser Beschaffenheit zwischen 1 und x vorhanden. Die kleinste derselben nennt man den Exponenten, zu welchem a für den Modul x gehört. Wird dieser Exponent mit u bezeichnet, so sind die Potenzen sämmtlich incongruent. Wäre nämlich jede der beiden Zahlen k und i ---- k -sr kleiner als u (also auch r /. n) und a.^" a.^ (moä. x), so müßte 1 (moä. p) sein, was der Voraussetzung, a gehöre zum Exponenten v, widerspricht. Ferner folgt aus a." 1 (moä. x.), daß auch jede Potenz von a", also jeder Ausdruck a^, wo k eine beliebige ganze positive Zahl bezeichnet, der Einheit congruent ist. Endlich ist noch g.^ -l- - ^« ^.^ d. h. man erhält den Rest einer gegebenen Potenz von a, wenn man ihren Exponenten durch u dividirt, der Zahl a den Rest r dieser Division zum Exponenten gibt und den Rest der so gefundenen Potenz nimmt. Beispiel: — Um zu bestimmen, welchen Rest 5"°° bei der Division durch 7 läßt, bilde man die Reste der Potenzen von 5 für den Modul 7, bis der Rest 1 erscheint. Man erhält 1, 5, 4, 6, 2, 3, 1. Es ist also 5° 1 (moä. 7), folglich 5"°° 56 . 1S6 4. 4 - 4 Z 7^ Fassen wir diese Ergebnisse zusammen, so erhalten wir den Satz: — Gehört a für den Modul p zum Exponenten n, so bilden die Neste der Potenzen 1, a, a', . . ., 8.°^, . . . in iv.5. eine periodische Reihe, indem die Reste der u ersten Glieder, die sämmtlich von einander verschieden sind, sich in unveränderter Folge wiederholen. Wir haben oben gesehen, daß, wenn 3. zum Exponenten u gehört, jede Potenz von a." den Nest 1 hat. Umgekehrt läßt sich auch zeigen, daß, wenn a° 1 (moä. x) ist, s." eine Potenz von a°, d. h. s ein Vielfaches von u sein muß. Wäre nämlich s ----- ->- r, r < v, so hätten wir a° -l- - . 1 (moä. x), und hieraus würde, da a.^ 1 ist, 1 (moä. x) folgen, was nur für r ----- 0 möglich ist, in welchem Falle s ----- uk, also ein Vielfaches von u ist.