Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 21

— 22 — 3. Abkürzung der Rechnung bei zusammengesetzten Moduln. Wenn der Modul eine zusammengesetzte Zahl um . . . ist, so läßt sich die Auflösung der Congruenz (1) ax d (moä. mn. . .) vereinfachen. Da ax — d durch um . . . theilbar sein soll, so muß zunächst m in ax — d aufgehen, d. h. (2) ax d (moä. m) sein. Ist v die Wurzel von (2), so ist x — v -jm?, wo 7 eine Unbestmmtte bezeichnet, die allgemeine Form der Wurzeln von (1). Es genügt aber nicht jede in diesen: Ausdruck enthaltene Zahl der Congruenz (1), sondern nur die Zahlen, welche gewissen Werthen von 7 entsprechen. Um diese Werthe von 5 zu bestimmen, ersetzen wir in (1) x durch v -jm? und erhalten am? d — av (moä. mn . . .), oder, da d — av durch m theilbar ist (und zwar sei der Quotient — /?), (3) av /? (moä. Q. . .). Diese Congruenz liefert den Werth (resp. die Werthe) vonv, durch dessen Einsetzung in die Formel x — v -jmv sich der Werth von x ergibt. Wenn auch der Modul der Congruenz (3) zusammengesetzt ist, so hat man mit (3) ebenso zu verfahren, wie wir mit (1) verfuhren. Auf diese Weise kann man die Auflösung einer Congruenz ersten Grades auf die von Congruenzen zurückführen, von denen jede eine Primzahl zum Modul hat. Beispiel. Um die Congruenz (1) 19 x 3 (moä. 44) zu lösen, behandeln wir zunächst (2) 19 x 3 (moä. 2) und erhalten x 1 (moä. 2), d. h. x — 1 -j- 2 v. Wird dieser Werth von x in (1) eingesetzt, so folgt 19 -j- 38 v 3 (moä. 44), oder (3) 19 v - 8 (moä. 22). Auch diese Congruenz lösen wir zunächst für den Modul 2, behandeln also die Congruenz (4) 19 v — 8 (moä. 2) und erhaltenv 0 (moä. 2), d. h. v — 22!. Für diesen Werth von v geht (3) über in 38 2 — 8 (moä. 22), oder 19 2 — 4 (moä. 11), 8 2 — 4 (moä. 11), oder endlich (5) 22^ — 1 (moä. 11). Diese Congruenz liefert der Reihe nach 22 ----- 1 4- 11 u, 5 , u — 1 2 5 u -j----, " 2 V, u 2v 1, 2 5 -j- 11 v. Es ist daher 7 2 2 ---- 10 22 v, x 1 4- 2 v 21 ->- 44 v, d. h. (1) hat die Wurzel x 21 (moä. 44).