Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 29

- 30 — 8. Lehrsatz. Eine Congruenz, deren Modul eine Primzahl ist, besitzt höchstens so viele Wurzeln, als ihr Grad Einheiten enthält. Beweis. Wir nehmen an, die Congruenz x" -s- L x"^' -j- . . . N x 0 (moä. x) besitze mehr als m, also wenigstens m 1 verschiedene Wurzeln a?, A ^, u. s. w. Die kleinste dieser Wurzeln sei «. Setzen wir dann? a? statt x, so erhalten wir eine neue Congruenz Grades a 7" -id 7"^ ->-...-j-M^^-n^0 (moä. x), welche ebenso viele Wurzeln als die gegebene Congruenz hat, indem sie durch die Werthe? 0, F — «, 7 — «, u. s. w. befriedigt wird. Da die letztere Congruenz die Wurzel 0 hat, so muß ihr letzter Coefficient v 0 sein; sie läßt sich also auf die Form 7 (a d ^_ . . . M) 0 (inoä. x) bringen. Nun wird die linke Seite der Congruenz durch x> theilbar, wenn man für 7 irgend eine der Größen /S — «, 7 — «, u. s. w. einsetzt, und da jede der letzteren vrim zu x ist, so muß nach Z. 1, 8, Lehrsatz I in allen diesen Fällen der Factor Z. ^_ h -j- . . . -sra durch x theilbar werden, d. h. die Congruenz a -lb -j- . . . m 0 (1Q06. p) muß die Wurzeln /S — «, — . . . haben, deren Anzahl wenigstens gleich m ist. Wenn es also eine Congruenz Grades mit mehr als m Wurzeln gibt, so läßt sich eine Congruenz (iu—1)^ Grades mit mehr als (in—1), ebenso eine Congruenz (m—-2)^° Grades mit mehr als m—2, u. s. w., endlich eine Congruenz ersten Grades mit mehr als einer Wurzel bilden. Letzteres ist aber, wenn der Modul eine Primzahl ist stz- 3, 1, Lehrsatz unmöglich. Folglich kann in diesem Falle die Congruenz Grades höchstens m Wurzeln haben. ß. 4. Potenzreste für Primzahlmoduln. 1. Berechnung der Potenzreste. — Wir wollen im Folgenden die Reste der successiven Potenzen einer Zahl a für einen Modul x> betrachten, der eine in a. nicht aufgehende ungerade Primzahl ist. Was die Berechnung der Reste dieser Potenzen betrifft, so hat man nicht nöthig, die Potenzen selbst zu bestimmen. Man erhält nämlich den Nest von 3.^', wenn man den Rest von mit a multivlicirt und den Rest des Produkts nimmt. So ergeben sich als Reste der Zahl 6 für den Modul 11 die Zahlen 1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1, U. f. w., als Reste von 5 für denselben Modul 1, 5, 3, 4, 9, 1, u. s. w. 2. Lehrsatz. — Unter den p ersten Gliedern der Reihe (I) 1, a, a-, . . ., a^', . . . . befindet sich außer der Zahl 1 wenigstens noch ein Glied, welches für den Modul x den Nest 1 hat. Beweis. Da a nicht durch x theilbar ist, so kann auch keine Potenz von a durch p