Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 31

— 32 — 4. DerFermat'scheSatz. — Bezeichnet a eine beliebige durch die Primzahl x> nicht theilbare ganze Zahl, so ist 3^ 1 (moä. p). Beweis. Wir betrachten die Produkte, die man erhält, wenn man jede der Zahlen (I) 1, 2, 3, . . ., x-1 mit a multiplicirt, also die Reihe (II) a, 2a, 3a, . . ., (p—1) a. Die Reste dieser Produkte müssen sämmtlich von einander verschieden sein; denn aus der Annahme ka ia (moä. x) würde durch Division mit a (Z. 2, 4, V)!c i (moä. x) folgen, was nicht der Fall ist, wenn k, i — wie wir voraussetzen — zwei verschiedene Zahlen der Reihe (I) sind. Da nun außerdem kein Glied von (II) durch x> theilbar ist, so müssen die Reste von (II) in irgend einer Reihenfolge mit den Zahlen (I) übereinstimmen, und es muß folglich das Produkt aller Zahlen (II) dem Produkte aller Zahlen (I) congruent sein; d. h. es ist 1.2.3... (x-1) a^' ^1.2.3... (p-1) (moä. x), oder G. 2, 4, V) 3.^' 1 (woä. p). 5. Wenn a zum Exponenten u gehört, und a° 1 (moä. x) ist, so muß, wie wir in (3) gesehen haben, u ein Divisor von L sein. Nun ist nach dem Fermat'schen Satze jederzeit a.^^ 1 (moä. x). Wir schließen daraus: Der Exponent, zu welchem eine Zahl a für den Modul x gehört, ist ein Divisor von x—1 (zu den Divisoren von x—1 wird auch die Zahl x—1 selbst gezählt). Wir wollen jetzt die verschiedenen Divisoren von x—1 in's Auge fassen und untersuchen, ob und wie viele Zahlen es gibt, die zu jedem derselben als Exponenten gehören. Dabei können wir uns auf die Zahlen 1, 2, 3, . . ., x—1 beschränken, da congruente Zahlen offenbar zu demselben Exponenten gehören. Ehe wir die Frage allgemein behandeln, wollen wir sie durch ein Beispiel erläutern: Wenn x ---- 43 ist, so hat x—1 42 die 8 Divisoren 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Nehmen wir jetzt der Reihe nach die Neste der Potenzen jeder der Zahlen von 1 bis 42 und bestimmen, die wievielte Potenz jeder Zahl den Rest 1 hat, d. h. zu welchem Exponenten jede Zahl gehört, so erhalten wir die Tabelle Zum Exponenten gehören die Zahlen 1 1. 2 42. 3 6, 36. 6 7, 37. 7 4, 11, 16, 21, 35,41. 14 2, 8, 22, 27, 32, 39. 21 9, 10, 13, 14, 15, 17, 23, 24, 25, 31, 38, 40. 42 3, 5, 12, 18, 19, 20, 26, 28, 29, 30, 33, 34.