Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 37

— 38 - 9. Jndiees. — Ist g eine primitive Wurzel von p, a eine beliebige durch p nicht Heilbare Zahl und a (moä. x), so nennt man i den Index von a für die Basis g. Da nun für jede ganze Zahl k ^w-») 1 (wyü. z>) ist, so wird auch . ß"^, d. h. s^"^ a (moä. x) sein, oder wir können L -jk (x — 1), d. h. jede Zahl, welche i nach dem Modul p — 1 congruent ist, als den Index von s. ansehen und Ivä. s. i smoä. (p — 1)^1 schreiben. So ist z. B. 101'° 36 (moä. 103), also Inä. 36 20 (moä. 102). Die Jndices sind für die Zahlentheorie von großer Bedeutung. Sie spielen hier eine ähnliche Rolle, wie die Logarithmen in der Arithmetik; auch gelten für beide ganz analoge Sätze. Der Hauptnutzen der Jndices beruht auf folgendem Satze: Lehrsatz. Der Index eines Produkts ist der Summe der Jndices der einzelnen Factoren nach dem Modul x — 1 congruent. Beweis. Es seien u Zahlen gegeben: , a, , . . ., F° (moä. x), so daß ii luä. Äi, i, Inä. a,, . . ., Inä. a» smoä. (p — 1)^ ist. Dann erhält man durch Awltiplication der ersteren Congruenzen ai a, . . . Z'' - (moä. v), d. h. es ist Inä. (^ . . . a^) L» -jiz -I- . . . --ji^, oder Inä. ai Inä. -s- . . . -j- Inä. ^moä. (p — 1)^j. Wird a, ----- — a, also auch ---- Lz — i angenommen, so geht die letzte Formel über in Inä. (a.°) n. Inä. a ^moä. (v — 1)Z; es ist danach der Index der n^° Potenz einer Zahl dem nfachen des Index der Zahl congruent. Beispiele: Inä. 93 Inä. 3 Inä. 31 9 -j- 21 30 (moä. 102). Inä. 16 4 Inä. 2 4 . 52 208 4 (moä. 102). Wir wollen jetzt noch die beiden wichtigsten Anwendungen der Jndiees betrachten. 10. Auflösung der Congruenz ersten Grades. — Hat man ax d (moä. v), so ist nach dem in (9) bewiesenen Satze Inä. s. -sluä. x luä. d smoä. (x — 1)^, oder luä. x Inä. b — luä. a smoä. (p — 1)Z. Wenn man also Tafeln benutzt, welche erstens für jede Zahl den zugehörigen Index und zweitens für jeden Index die entsprechende Zahl enthalten, so erhält man zunächst den Index von x und sodann den Werth von x selbst. Solche Jndextafeln hat Jacobi (1839) für die Primzahlen unter 1000 unter dem Titel Oanov aritnmetieus veröffentlicht. Um ihre Benutzung