Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 34

— 35 — welchem ad gehört, nicht kleiner als vm sein kann. Wird dieser Exponent mit k bezeichnet, ist also (ad)" 1, so muß auch (ad)"", d. h. a^d°^ 1, oder, weil a" 1 ist (Vor.), d^ 1 (woä. p) sein. Nun gehört aber d zum Exponenten u; folglich muß mk durch u, oder, weil m prim zu u ist, k durch u theilbar sein. Ganz ebenso zeigt man, daß k durch m theilbar ist. k ist somit durch das Produkt um theilbar, also jedenfalls nicht kleiner als dieses Produkt. Mit Hülfe dieses Satzes läßt sich, wie wir jetzt zeigen wollen, für jede Primzahl p ziemlich leicht eine primitive Wurzel berechnen. Zu diesem Zwecke wählen wir eine beliebige durch x nicht theilbare Zahl a (etwa 2) und schreiben die Neste ihrer Potenzen hin, bis wir zum Rest 1 gelangen. Ist 1 der Rest der Potenz von a, so gehört a zum Exponenten k. Wenn k ----- p — 1 ist, so ist a eine primitive Wurzel und die Rechnung beendet. Wir nehmen an, k sei ^. p — 1. Dann wählen wir eine zweite Zahl d, die sich unter den Potenzresten von a nicht vorfindet, und schreiben auch die Potenzreste von d bis zum Rest 1 hin. Dadurch erhalten wir den Exponenten i, zu welchem d gehört. Nun sehen wir zunächst, daß i kein Divisor von K k sein kann. Wäre nämlich k ----- i Z^, so müßte d — a^ sein, sich also der Voraussetzung zuwider unter den Potenzresten von s. vorfinden. Dagegen kann i ein Vielfaches von k sein; in diesem Fall gehört d zu einem größeren Exponenten als a, und da wir eine Zahl suchen, die zu dem größten Exponenten (zu x — 1) gehört, so sind wir unserem Ziele näher gekommen. Wenn L kein Vielfaches von k ist, so läßt sich das kleinste gemeinschaftliche Vielfache in von k, i bestimmen, und der oben bewiesene Satz liefert uns dann eine Zahl, welche zum Exponenten m gehört. Wir zerlegen nämlich m in zwei Factoren k^, i', die prim zu einander sind k! und beziehungsweise in k und i aufgehen. Dann gehört offenbar a^ zum Exponenten ^, d^ 5 zum Exponenten i^, folglich a"' d'" zum Exponenten i' ----- m. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens erhalten wir Zahlen, die zu immer größeren Exponenten gehören. Dasselbe muß uns also endlich zu einer primitiven Wurzel führen. Beispiel: — Es soll eine primitive Wurzel von 103 berechnet werden. Die Potenzreste von 2 für den Modul 103 sind 2, 4, 8, 16, 32, 64, 25, 50, Z00, 97, 91, 79, 55, 7, 14, 28, 56, 9, 18, 36, 72, 41, 82, 61, 19, 38, 76, 49, 98, 93, 83, 63, 23, 46, 92, 81, 59, 15, 30, 60, 17, 34, 68, 33, 66, 29, 58, 13, 26, 52, 1. 2 gehört also zum Exponenten 51. Unter den obigen Zahlen ist 3 nicht vorhanden. Wir bilden demnach die Reihe der Potenzreste von 3 und erhalten 3, 9, 27, 81, 37, 8, 24, 72, 10, 30, 90, 64, 89, 61, 80, 34, 102, 100, 94, 76, 22, 66, 95, 79, 31, 93, 73, 13, 39, 14, 42, 43, 69, 1. 3 gehört also zum Exponenten 34. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 51 und 34 ist 102 ----- 51 . 2. Es muß daher 2^ . 3"/- -----2.3" eine zum Exponenten 102 gehörende Zahl, d. h. eine primitive Wurzel von 103 sein. 3" ist aber 102. Folglich ist die primitive Wurzel, die unser Verfahren liefert, 2 . 102 ----- 204, d. h. 101. 5*