Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 33

— 34 - Nun ist jedes Glied der linken Seite Null oder gleich dem entsprechenden Gliede der rechten Seite. Wäre also ein Glied (oder auch mehrere Glieder) der linken Seite Null, so könnte die Summe der übrigen Glieder nicht gleich der Summe der Glieder der rechten Seite sein. Es ist somit für jeden Divisor ä i/, (ä) 7? (ä), w. z. b. w. 6. Primitive Wurzeln. — Nach dem in (5) bewiesenen Satze befinden sich in der Reihe (I) 1, 2, 3, . . ., x - 1 genau (x — 1) Zahlen, von denen die (p — 1)*°, aber keine niedrigere Potenz nach dem Modul x der Einheit congruent ist. Jede solche Zahl wird eine primitive Wurzel von x genannt. Es sei nun K eine primitive Wurzel von x. Dann sind die Reste der p — 1 Potenzen (II) 1, 8, 6', - - ., 6-'' sämmtlich von einander und von Null verschieden; sie müssen daher in irgend einer Reihenfolge nnt den Zahlen (I) übereinstimmen. Wir sind also im Stande, jede der Zahlen (I), folglich auch jede durch x nicht theilbare ganze Zahl durch eine ihr congruente Potenz der primitiven Wurzel A zu ersetzen. So ist z. B. 2 eine primitive Wurzel von 13, und man erhält leicht 2° 1, 2' 2, 2' 4, 2° 8, 2' 3, 2° 6, 2' 12, 2' 11, 2' 9, 2" 5, 2" 10, 2" 7, 2" 1 (moä. 13), d. h. es ist für denselben Modul 1 2°, 2 2', 3 2', 4 2', 5 2°, 6 2', 7 2", 8 2«, 9 2', 10 2", 11 2', 12 2«. Kennt man eine primitive Wurzel von x, so ist es leicht, alle übrigen anzugeben. In (5) haben wir nämlich bewiesen, daß, wenn oe zum Exponenten ä für den Modul x gehört, auch jede Potenz deren Exponent k prim zu ä ist, zum Exponenten ä gehören muß. Primitive Wurzeln sind aber Zahlen, die zum Exponenten x — 1 gehören. Ist also A eine primitive Wurzel von x, so erhält man die übrigen primitiven Wurzeln, wenn man die Potenzen von Z nimmt, deren Exponenten prim zu x — 1 sind. So hat 13 außer 2 die primitiven Wurzeln 2° 6, 2' 11, 2" 7. 7. Berechnung der primitiven Wurzeln. — Lehrsatz.— Wenn für den Modul x die Zahl a zum Exponenten m, die Zahl d zum Exponenten u gehört, und wenn ferner m prim zu u ist, so gehört das Produkt ad zum Exponenten um. Beweis. Da nach der Voraussetzung a" 1, d° 1, so ist auch a"° 1, 1, also jedenfalls (ab)"" 1 (moä. p). Wir haben daher nur zu beweisen, daß der Exponent, zu