Einladungsschrift zu der am ... stattfindenden öffentlichen Prüfung der Real- und Volksschule der Israelitischen Gemeinde zu Frankfurt am Main · 1872-01-01 · 1872 · page 28

— 29 — geführt werden, und durch Elimination eine Gleichung zu bilden, welche m — 1 der Unbekannten nicht mehr enthält. Mit dieser Gleichung ist dann auf die in (2) angegebene Weise zu verfahren. U. s. w. Ebenso behandelt man Aufgaben, die von vorn herein zu m linearen Gleichungen mit m -j- 1 oder mehr Unbekannten führen. Beispiel. Aus x-j-37-I-52---44 3x^-57-1-72-- 68 folgt durch Elimination von x 5 ---- Z6 - 2 2, und die erste Gleichung liefert mit Rücksicht hierauf x — 2 — 4. 2 ist unbestimmt, kann aber, damit x positiv sei, nicht kleiner als 5, und damit 7 positiv sei, nicht größer als 7 sein. Wir erhalten also 3 Lösungen x ---- 1, 7 6, 2 5; x 2, 5 4, 2 6; x 3, 7 2, 2 7. 7. Der Wilsons che Satz. Die Theorie der Congruenzen ersten Grades liefert einen direkten Beweis des berühmten Wilson'schen Satzes: Das um 1 vermehrte Produkt aller Zahlen von 1 bis x — 1, also die Zahl 2 1 . 2 . 3 . . . (p — 1) ->- 1, ist durch x theilbar, wenn p eine Primzahl ist, sonst nicht. Beweis. I. Wenn a. eine der Zahlen 1, 2, 3, . . ., (p—1) bezeichnet, also jedenfalls prim zur Primzahl p ist, so hat die Congruenz ax 1 (inoä. x) (Z. 3, Z, Lehrsatz I.) stets eine Wurzel. Wäre diese Wurzel gleich dem Coefficienten a, also 1 (moä. x), so müßte a.^ — 1 — (3. ->- 1) (a. — 1) durch x theilbar sein, p folglich entweder in (3. -j- 1) oder in (3. — 1) aufgehen. Im ersteren Falle wäre, da a < x ist, a. ----- x — 1, im letzteren a — 1. Wenn also a. eine der Zahlen 2, 3, . . ., x — 2 ist, so kann die Wurzel der Congruenz ax 1 (woä. x) nie gleich dem Coefficienten s. sein. Ferner können zwei Congruenzen mit verschiedenen Coefficienten a, s/ a.x 1, 3/ x 1 (moä. p) nicht dieselbe Wurzel x haben; denn sonst würde man ax 3/ x und daraus 3. a/ (woä. p) erhalten^ während zwei verschiedene Zahlen der Reihe 2, 3, . . ., x — 2 nicht congruent sein können. Die Zahlen 2, 3, . . ., x — 2 lassen sich somit in Gruppen von je zweien zusammenstellen, so daß das Produkt der beiden Zahlen jeder Gruppe den Nest 1 liefert. Durch Multiplication aller so gebildeten Congruenzen erhält man 2 . 3 .... (p — 2) 1 (moä. x), und hieraus folgt durch Multiplication mit x — 1 1 . 2 . 3 . . . (x - 2) (x — 1) x — 1 - 1 (ivoä. x), oder 1.2.3...(p — 1)-5-1^0 (iiioä. x), w. z. b. w. II. Ist x keine Primzahl, sondern durch eine kleinere Zahl n theilbar, so tritt n als Factor in dem Produkt 1 . 2 . 3 . . . (x — 1) auf. 2 ist folglich nicht durch n und daher auch nicht durch x theilbar.