— 17 — eine ganze Zahl sein. Hierzu ist erforderlich, da <5 und relative Primzahlen sind, daß in (c-? — A aufgehe, d. h. daß « /? (moä. sei. Wenn also beide Glieder einer Congruenz a d (m0ä. in) einen ge:neinschaftlichen Divisor ä haben, de…

— 18 — IV. Für dm Modul 13 ist 10 — 3, 1 - 12, folglich? - 12a — 3d - 3 (d -j- 4a), und wenn? durch 13 Heilbar sein soll, so muß 13 in 1) -j- 4a aufgehen. Untersucht man mit Rücksicht hierauf die Zahl 701064, so erhält man der Reihe nach di…

(moä. 16) — 19 - Eine Auflösung der Congruenzen 13x — 7> -- 10 0 6x -j- 9^ -s- 11 0 ist x 3, 7 11. 7. Umformung einer Congruenz. Man kann eine Congruenz ^x" -I- Lx"'' ->- Ox^' ->-...->- M -j-? 0 (moä. m) dadurch auf eine andere Form bringen…

— 20 - Beweis. Die gegebene Congruenz ist der Gleichung ax ---- d -jm^ äquivalent, wo 7 eine beliebige ganze Zahl bezeichnet. Hieraus erhält man ax — m? ---- d und, durch Division mit ä, a m _ d? " ä^ " ä' Die linke Seite dieser Gleichung i…

— 21 — Wir wollen jetzt die ganzen Zahlen bestimmen, welche, für x eingesetzt, der Gleichnng genügen : Durch Division mit a erhält man darin bezeichnen jS, die Quotienten und e, ä die kleinsten Reste von d, w für den Divisor a.. Da x, A ^, …

— 22 — 3. Abkürzung der Rechnung bei zusammengesetzten Moduln. Wenn der Modul eine zusammengesetzte Zahl um . . . ist, so läßt sich die Auflösung der Congruenz (1) ax d (moä. mn. . .) vereinfachen. Da ax — d durch um . . . theilbar sein sol…

— 33 — 4. Aufgaben. I. Welche Zahl gibt, durch 5 dividirt, 2, und durch 6 dividirt, 5 Zum Nest? Die gesuchte Zahl 2 muß die Form 5 x -s- 2 haben und zugleich für den Modul 6 congruent 5 sein, 0. h. es ist 5 x 2 5 (moä. 6), 5 x 3 (mod. 6). D…

— 24 — Nun soll 7 eine der Zahlen 0,?, I, . . ., 9 sein. Der Bruch kann also nur einen solchen Werth haben, der, mit 12 multivlicirt, kleiner als 200 und nicht kleiner als 190 ist. Der einzige Werth von dieser Beschaffenheit ist 16. Wir erh…

— 25 — und daraus der Reihe nach u 7 1 17 2 -I- 11, 7 2 2 -z- 1 - 11 11 k — 1 i, k 5 i 1, 2 11 L -j- 2, x 187 i 4- 45. 5 Wird dieser Werth in die dritte Gleichung eingesetzt, so folgt weiter 5i->-4 12 12 u 4- 1 187 L -j- 45, u 16 i 4 — 5i>4…

— 26 — Es ist also l 49 20 (nwä. 3), i 2 « 1 (woä. 3), 49 15 /? (moä. 4), oder 3/5^1 (moä. 4), s 49 12 7 (moä. 5), s 2 (moä. 5). Die Wurzeln dieser Congruenzen sind «--2-j-3lc, /S--34-4!, ^---24-5ili, wo ^, 1, m unbestimmte Größen sind, dur…

— 27 — x Mark der ersten, 7 Mark der zweiten und 2 Mark der dritten Sorte sollen zusammen 30 . 12 360 Löth Silber enthalten. Es müß also 14 x -l- 11 7 9 2 ---- 360 sein. Hieraus folgt 2 v -I- 5 x 9 2 ----- 360 — 14 x — 11 7, 2 ----- 40 -- x…

— 28 — III. Für i — 3 ist x ---- k -> 6, 7 ----- 2 k — 15, 2 — 49 - 4 Zc; kann also ----- 8, 9, 10, 11, 12 sein, so daß wir die 5 Lösungen x ----- 14, 7 1, 2 ----- 17 x ----- 15, 7 ----- 3, 2 ----- 13 x ----- 16, 7 ---- 5, 2 ----- 9 x 17, 7…

— 29 — geführt werden, und durch Elimination eine Gleichung zu bilden, welche m — 1 der Unbekannten nicht mehr enthält. Mit dieser Gleichung ist dann auf die in (2) angegebene Weise zu verfahren. U. s. w. Ebenso behandelt man Aufgaben, die …

- 30 — 8. Lehrsatz. Eine Congruenz, deren Modul eine Primzahl ist, besitzt höchstens so viele Wurzeln, als ihr Grad Einheiten enthält. Beweis. Wir nehmen an, die Congruenz x" -s- L x"^' -j- . . . N x 0 (moä. x) besitze mehr als m, also weni…

— 31 - theilbar sein, d. h. kein Glied der Reihe (I) kann den Rest Null haben. Die Reste der Potenzen (I) müssen also Zahlen der Reihe (II) 1, 3, 3, . . ., (p-1) sein. Unter den p ersten Gliedern von (I) werden sich daher jedenfalls zwei ve…

— 32 — 4. DerFermat'scheSatz. — Bezeichnet a eine beliebige durch die Primzahl x> nicht theilbare ganze Zahl, so ist 3^ 1 (moä. p). Beweis. Wir betrachten die Produkte, die man erhält, wenn man jede der Zahlen (I) 1, 2, 3, . . ., x-1 mit a …

— 53 - So könnten wir in Beziehung auf noch andere Primzahlen verfahren. Eine aufmerksame Betrachtung der gewonnenen Resultate führt zu dem Satze: Lehrsatz: Ist ä ein beliebiger Divisor von x—1 und bezeichnet, wie früher, (ä) die Anzahl der…

— 34 - Nun ist jedes Glied der linken Seite Null oder gleich dem entsprechenden Gliede der rechten Seite. Wäre also ein Glied (oder auch mehrere Glieder) der linken Seite Null, so könnte die Summe der übrigen Glieder nicht gleich der Summe …

— 35 — welchem ad gehört, nicht kleiner als vm sein kann. Wird dieser Exponent mit k bezeichnet, ist also (ad)" 1, so muß auch (ad)"", d. h. a^d°^ 1, oder, weil a" 1 ist (Vor.), d^ 1 (woä. p) sein. Nun gehört aber d zum Exponenten u; folgli…

i — 36 — Leichter wärm wir in diesem Falle durch bloße Benutzung der Potenzreste von H auf folgende Weise zum Ziele gelangt: — Die Reste der Zahl — 2 stimmen, abgesehen vom Vorzeichen, mit denen der Zahl 2 überein. Die Potenzreste von — 2 s…