— 16 — jeden Zahl zu der entsprechenden ist, also ist das Verhältnis des Quadrats von 1 zu dem Quadrat der ersten Zahl gleich dem des Quadrats einer jeden Zahl zu dem Quadrat der entsprechenden, und daher ist das Verhältnis des Quadrats von…

— TT — Daraus kannst du auch die Summe der dritten Potenzen der ungraden Zahlen der Reihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl finden, ich meine, du suchst zuerst die Summe der dritten Potenzen aller Zahlen bis zu der gegebenen und ziehst von …

— 78 Anfangsglied 2 kleiner war als 3, so ziehe 14 von 84 ab, es bleiben 70, das ist das Gewünschte. Der Grund liegt darin, dass, wenn wir die Differenz zwischen 3 und dem Anfangsglied zu jeder der Zahlen der Reihe hinzugefügt hätten, so hä…

- 79 - Oder wenn du mit 2 die doppelte Summe von 7 Zahlen, die eine nicht natürliche Eeihe bilden, deren jede die Vorhergehende um 3 übertrifft und deren erste 3 ist, multiplizieren würdest und zu dem Eesultat das Produkt aus dem Quadrat vo…

— 80 — Differenz, die Summe der Quadrate dieser Zahlen, multipliziere das Resultat mit dem dreifachen der zweiten gegebenen Zahl und merke das Ergebnis, dann multipliziere das Dreilache des Quadrats der zweiten gegebenen Zahl mit der Summe …

— 81 — and addiere das Ergebnis zu den beiden ersten Zwischenresultaten, das ergibt das erste fertige Zwischenresultat. Dann bilde die Summe der dritten Potenzen von soviel Gliedern einer nicht natürlichen Keine mit der gegebenen Differenz,…

— 82 — kannst du durch das Quadrat jedes Gliedes das Glied finden, das von ihm denselben Abstand hat, wie es von dem ersten. Und wenn du zu einem Glied kommst, das dem gegebenen Glied näher ist, so merke es dir, dann suche seinen Abstand vo…

gleich dem Produkt der ersten und fünfzehnten, das ist gleich dem fünfzehnten. Richte dich in ähnlichen Fällen danach. Und wenn du wissen willst, wie gross das letzte Glied einer gegebenen Zahl von Gliedern einer nicht mit 1 beginnenden geo…

— 84 — Viertes Kapitel: Von der Combinatorik gegebener Elemente, sei esdass dieComplexionen sich durch die Elemente oder durch die Ordnung oder (Iure h b e i d e zusammen unterscheide n. Wenn du die Permutationszahl einer gegebenen Anzahl v…

— Ho — der fünften Klasse aus 8 verschiedenen Elementen gibt es. Das ist so, weil die Variationen der zweiten Klasse an Zahl 7X$ sind und die der dritten Klasse 6 . (T . 8), wie es vorher gezeigt ist, und die Variationen der vierten Klasse …

— 86 — einer der Faktoren kennst, so kannst du den andern Faktor berechnen. Und siehe, das Vorgehen bei dieser Operation ist so, dass du dir die Zahl des Produkts (den Dividenden) in eine Reihe schreibst und darunter in eine andre Reihe den…

- 8 t - fort, bis dir in der oberen Reihe nichts bleibt, oder bis die obere Reihe die untere nicht mehr enthält. Im Folgenden werden wir dir zeigen, was du mit diesem Rest machen sollst. Und manchmal wird es vorkommen, dass wir in der Resul…

— 88 — 6, wir setzen sie in die dritte Rubrik, weil sie die vierte vor der Rubrik der 62 ist, die wir geteilt haben. Wir multiplizieren 6 von der dritten Stufe mit der untern Reihe, das gibt 2 in der dritten Stufe, 2 in der vierten, 6 in de…

89 — so gross ist wie der Abstand der letzten Kubrik der untern Reihe von der ersten, wenn wir sie alle in diese Stufe herabgeholt haben, gleich den Zahlen der untern Reihe sind, nachdem wir sie in die erste Stufe aber noch weiter herunterg…

- 90 — Das Produkt 1. 7s verhält sich zu dem Produkt X . 1 wie 1 zu 3. Das ist so, denn das Verhältnis des Produkts 1 . V3 zu dem Produkt 1.1 ist gleich dem Verhältnis l/3 zu 1, aber das Verhältnis Vs zu 1 ist gleich dem von 1 zu 3 und das …

— 91 — gleich Vi5> also ist das Produkt Ys Ys gleich dem fünfzehnten Teil von 1. Richte dich in ähnlichen Fällen danach. So beweist man, dass das Produkt aus Ys uncl V3 gleich dem neunten Teil von 1 ist, und so beweist man auch, dass das Pr…

mit 7/s multiplizieren wollen, so ist der Nenner für ein Siebtel eines Drittels 21, und der Nenner von 1/8 ist 8, die aus den beiden Nennern zusammengesetzte Zahl ist 168. Wir multiplizieren 5 mit 7, das gibt 35, es sind 35 Teile, von denen…

- 93 - zusemmengesetzte Zahl 7 achtmal enthält, daher ist das Eesultat 6/8. Und wenn du 42 durch 8 teilst, so enthält das Resultat Siebtel Daher ist das Resultat 5/7 und 2/8 eines Siebtels. Ein anderes Beispiel: Wenn du 28/2o mit 6/7 eines …

— 94 — gross ist, ist es bequem, dass du durch eine Zahl teilst, die sich aus einem Teil der Nenner zusammensetzt, und von der du glaubst, dass es am bequemsten ist, durch sie zu teilen» Teilst du durch die Zahl, die sich aus 7, 6, 3, 4, zu…

— 95 — Ein anderes Beispiel: Wenn du 3/7 mit 4/5, das Resultat mit 6/7, das Resultat mit 7/s zu multiplizieren hast, so vertausche dje Zähler, die 3, 4, 6, 7 sind, so dass sie an den bequemsten Stellen stehen, daher setze die 7 zu den Siebt…