Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 137

- 79 - Oder wenn du mit 2 die doppelte Summe von 7 Zahlen, die eine nicht natürliche Eeihe bilden, deren jede die Vorhergehende um 3 übertrifft und deren erste 3 ist, multiplizieren würdest und zu dem Eesultat das Produkt aus dem Quadrat von 2 und 7 addiertest, so würde auch 364 herauskommen. Denn 2 . 2 . 84 ist gleich 336. Addieren wir dazu 4.7, das gleich 28 ist, so erhalten wir auch 364. Siehe, die beiden Wege bringen dich zu einer Zahl, das geht ganz klar bei nur geringem Nachdenken aus dem Anfang des ersten Abschnitts hervor47). Aber die Summe der Quadrate der Zahlenreihe von 1 bis 7 ist gleich 140, multipliziere damit 9, das Quadrat der Differenz, das gibt 1260, addiere das zu 364, so ergibt sich 1624, das ist das Gewünschte. Sei nun das Anfangsglied um 2 kleiner als 3 in diesem unsern Beispiel, siehe, so wissen wir, dass die Summe der Zahlen 70 ist, verdoppeln wir sie, so gibt das 140, multiplizieren wir mit 2, so ist das 280. Aber das Produkt aus 7 und dem Quadrat von 2 ist 28, addieren wir das, so haben wir 308, das erste Zwischenresultat. Aber die Summe der Quadrate der Zahlenreihe bis 7 ist 140, multiplizieren wir damit 9, das Quadrat der Differenz, so erhalten wir 1260, davon ziehen wir 308 ab, das gibt 952, das ist das Gewünschte. Das ist so, weil die Zahlen, wenn man 2 zu jeder von ihnen hinzufügt, eine nicht natürliche Eeihe bilden, die Differenz zwischen dem Quadrat einer jeden um 2 vermehrten, Zahl und dem Quadrat der Zahl ist aber zweimal das Doppelte dieser Zahl, vermehrt um das Quadrat von 2, addiert man alle diese Differenzen, so ergibt das das doppelte Produkt aus 2 in die Summe dieser Zahlen, vermehrt um das Produkt aus dem Quadrat von 2 in die Anzahl dieser Zahlen. Zieht man dieses Eesultat von der Summe der Quadrate der Glieder einer nicht natürlichen Eeihe mit der gegebenen Differenz und so viel Gliedern, wie die gegebene Zahl angibt, ab, so bleibt das gesuchte Eesultat. So beweist man das für den entsprechenden Fall mit geringem Nachdenken, suche es zu verstehen, so wirst du es finden48). Wenn du die dritten Potenzen einer gegebenen Anzahl von Gliedern einer allgemeinen arithmetischen Eeihe addieren willst, deren Differenz sich um eine gegebene zweite Zahl von dem Anfangsglied unterscheidet, so nimm, wenn das Anfangsglied kleiner ist als die