Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 134

— 16 — jeden Zahl zu der entsprechenden ist, also ist das Verhältnis des Quadrats von 1 zu dem Quadrat der ersten Zahl gleich dem des Quadrats einer jeden Zahl zu dem Quadrat der entsprechenden, und daher ist das Verhältnis des Quadrats von 1 zu dem Quadrat der ersten Zahl gleich dem Verhältnis der ganzen ersten Summe zu der ganzen zweiten. 45) Wenn du die dritten Potenzen der Zahlen einer natürlichen Reihe bis zu einer gegebenen Zahl addieren willst, so nimm das Quadrat der Summe der Zahlen von 1 bis zu der gegebenen, das ist das Gewünschte. Beispiel dafür: Du willst die Summe der dritten Potenzen der Zahlen von 1 bis zu 6 wissen. Siehe, die Summe der Zahlen von 1 bis 6 ist 21, wir nehmen das Quadrat, das gleich 441 ist, das ist das Gesuchte. Und wenn die Zahlen nicht eine natürliche Reihe bildeten und es eine gegebene Anzahl ist, von der wir die Summe der dritten Potenzen wissen wollen, so suche die Summe der dritten Potenzen der Zahlen der natürlichen Reihe von 1 bis zu der gegebenen Zahl und multipliziere damit die dritte Potenz der ersten Zahl, das ist das Gewünschte. Die Ursache dafür ist schon im Vorhergehenden gezeigt. Beispiel dafür: Es sei die erste Zahl 4, die zweite 8, und es mögen nach diesem Gesetz 5 Zahlen auf einander folgen. Wir wissen schon, dass die Summe der dritten Potenzen der natürlichen Zahlenreihe bis 5 gleich 225 ist. Wir multiplizieren damit 64, die dritte Potenz der ersten Zahl, das Ergebnis ist 14400, das ist das Gewünschte. Und wenn wir die Summe der dritten Potenzen der graden Zahlen aus einer bei 1 beginnenden und bis zu einer gegebenen Zahl sich erstreckenden Reihe wissen wollen, so nimm die Summe der dritten Potenzen der Zahlen aus der Reihe bis zur Hälfte der gegebenen Zahl und multipliziere mit dem Ergebnis die dritte Potenz der ersten Zahl, 'die gleich 2 und deren dritte Potenz 8 ist, das ist das Gewünschte. Im Vorigen ist der Grund hierfür schon auseinander gesetzt, d. h. diese Zahlen lassen sich auf Reihen, die nicht der natürlichen Reihe entsprechen zurückführen. Beispiel dafür: Du willst die Summe der dritten Potenzen der graden Zahlen aus der Reihe bis 6 wissen. Siehe, die Summe der dritten Potenzen der Zahlen bis 3 ist 36, multipliziere damit 87 die dritte Potenz von 2, so ist das 288, das ist das Gewünschte.