Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 141

gleich dem Produkt der ersten und fünfzehnten, das ist gleich dem fünfzehnten. Richte dich in ähnlichen Fällen danach. Und wenn du wissen willst, wie gross das letzte Glied einer gegebenen Zahl von Gliedern einer nicht mit 1 beginnenden geometrischen Reihe mit gegebenen Exponenten ist, suche zuerst, wie gross das gegebene Glied in einer mit 1 beginnenden Reihe mit demselben Exponenten ist, und multipliziere das mit dem ersten Glied, das ist das Gewünschte. Beispiel dafür: Die Anzahl der Glieder der geometrischen Reihe seien 5, der Exponent 3, das Anfangsglied 5, und du willst wissen, wie gross das letzte ist. Siehe, wir wissen schon, dass das fünfte Glied einer bei 1 beginnenden geometrischen Reihe mit diesem Exponenten gleich 81 ist, multipliziere 81 mit der ersten Zahl, also mit 5, das gibt 405, das ist das Gewünschte. Das ist so, denn die Proportion besteht, nach der das erste (der einen Reihe), das gleich 1 ist, sich zu dem fünften, von ihm aus gerechnet, so verhält wie das erste (der andern Reihe), das gleich 5 ist, zu dem fünften, von ihm aus gerechnet. Und vertauschen wir die inneren Glieder, so verhält sich das erste zu dem (andern) ersten, wie das fünfte zu dem (andern) fünften. Aber das Verhältnis des ersten zu dem (andern) ersten ist 1 zu 5, also ist das Verhältnis des fünften zu dem (andern) fünften auch 1 zu 5. Richte dich in ähnlichen Fällen danach. Willst du eine gegebene Zahl von Gliedern einer geometrischen Reihe mit gegebenen Exponenten addieren, so ziehe das erste von dem zweiten ab und sieh, wie sich der von dem zweiten übrig gebliebenen Rest zum ersten verhält, so verhält sich die Differenz des letzten und ersten zur Summe aller Zahlenreihen, das ist schon am Schluss des 9ten Buchs von Euklid bewiesen50). Beispiel dafür: Du willst 6 Glieder einer geometrischen Reihe mit dem Exponenten 3 und dem Anfangsglied 4 addieren. Du weisst, dass das zweite 12 und das letzte 972 ist. Wir ziehen das erste, also 4, vom zweiten ab, es bleiben 8, und das Verhältnis von 4 zu 8 ist VW Wir ziehen 4 vom letzten ab, es bleiben 968, wir.nehmen die Hälfte davon, das ist 484, addieren es zu 972, das gibt 1456, das ist das Gewünschte,