Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 140

— 82 — kannst du durch das Quadrat jedes Gliedes das Glied finden, das von ihm denselben Abstand hat, wie es von dem ersten. Und wenn du zu einem Glied kommst, das dem gegebenen Glied näher ist, so merke es dir, dann suche seinen Abstand von dem gegebenen Glied, sieh auch, wie gross das Glied der geometrischen Keihe ist, das ebenso weit von der 1 absteht, und mit dieser Zahl multipliziere das Gemerkte, so hast du das Gewünschte. Beispiel dafür: du willst wissen, wie gross das letzte Glied von 5 Zahlen einer mit gegebenen Exponenten fortschreitenden geometrischen Eeihe ist, die bei 1 beginnt. Der gegebene Exponent sei 3, demnach ist das zweite Glied 3, wir nehmen das Quadrat von 3, also 9, das ist das dritte Glied, wir nehmen das Quadrat von 81, also 6561, das ist das neunte. Und wenn wir das Quadrat des neunten nähmen, so bekämen wir das siebzehnte, und wir wären über die gegebene Zahl hinausgekommen, deshalb sehen wir, wie gross der Abstand des fünfzehnten von dem neunten ist, und siehe, das fünfzehnte ist das siebte nach ihm. Deshalb müssen wir sehen, wie gross das siebte Glied ist, wenn wir vom ersten anfangen. Wir wissen, dass das fünfte Glied, vom ersten an gerechnet, 81 war, das siebte ist das dritte, vom fünften an gerechnet, wir multiplizieren 81 und 9, das dritte Glied, und erhalten 129 als das siebte Glied. Multipliziere das siebte mit dem neunten, so hast du das fünfzehnte, es ist 4782969 (viertausend mal tausend und siebenhundertzweiundachtzigtausend und 969), das ist das fünfzehnte, richte dich in ähnlichen Fällen danach. Das ist so, weil das Verhältnis des ersten zum zweiten wie das des zweiten zum dritten und daher das Produkt aus dem ersten und dritten gleich dem Produkt aus dem zweiten in sich selbst ist. Aber das Produkt aus dem ersten und dritten ist das dritte, weil das erste 1 ist, also ist das Produkt des zweiten in sich selbst das dritte. Ebenso beweist man, dass das Produkt des ersten und fünften gleich dem Produkt des dritten in sich selbst ist, und so auch für das, was folgt. Ferner ist das Verhältnis des ersten zum dritten gleich dem des fünften zum siebten, also ist das Produkt des dritten und fünften gleich dem Produkt des ersten und siebten, das ist gleich dem siebten. Ferner ist das Verhältnis des ersten zum siebten gleich dem des neunten jsum fünfzehnten, also ist das Produkt des siebten und neunten