— 36 — so enthält das Resultat dieser ganzen Addition die mittlere Zahl so oft als Faktor, wie die Einheiten der Zahl angeben, die auf die Differenz zwischen der grössten und kleinsten folgt. Die verschiedenen Zahlen seien a, b, c; a sei di…

'2 oder grösser als 2 sein. Sei es zunächst 219). Wir addieren nun die letzte Zahl, c, zu d, der Differenz zwischen b und a, das Resultat (c+d) setzen wir gleich Ii. Das ist die erste der Zahlen. Ferner addieren wir h und das doppelte Produ…

— 38 — 1 enthalten ist-1), also enthält (h+t) den Faktor c so oft wie 2 1 die Einheit enthält. 21 sei gleich x, dann ist x der c t e Teil d e r S u m m e (h+t). Wir behaupten nun, dass (h+m) gleich (t+n) und gleich (k+x) ist. Das ist der Fa…

Behauptung: 111, 11, x sind die gesuchten Zahlen. Beweis: n ist gleich m+2hl und x ist gleich m+2hl+2sg, also ist die Hälfte von (n-f-x) gleich m-f-2hl-f sg. Aber m war gleich dem Produkt b . c, multipliziert mit d und vermehrt um die Summe…

— 40 meiuschaftliehe in fort, so behaupten wir, dass 2tl gleich 2hl-f-2dc-)--<i ist. Das ist der Fall, denn die Differenz zwischen t und h ist g, weil (a-f-h) gleich b und demnach (g+h) gleich t ist. Also ist die Differenz von tl und hl gle…

- 41 - die Teile, deren Summe die grössere ist, der gesuchten Zald, °, a ° ' d und l derselben, die Teile, deren Summe kleiner ist, s der Zald " g und ~ von ihr. Wir wollen nun eine Zahl finden der Art, dass die Summe der erstgenannten Teil…

— 42 zwischen (o-f-v+w) und (i+j) auch gleich in. So haben wir also eine Zahl der Art gefunden, nämlich r, dass +)jderselben um m grösser waren als ) von ihr, und das war, was wir wollten. 55. Wenn ei n e Z a Ii 1, v e r m ehrt u m einen ge…

— 4H — von b ist gleich m und Q+J, ) von k istgleich (1+t), also ist a+Q+Jp) von (k-f-b) gleich (ni+l+t). Ferner ist b+* von a gleich (m-f-t), aber |- von k ist gleich 1, also ist k-f^ von (a-f-k) gleich (m+l+t). Nun war +h) von (M"k) auch …

— 44 — zeichnen das Produkt mit s, das sei die zweite Zahl, und wir behaupten: h -fi- . s ist gleich s + *- . h. Beweis: ~ von s ist gleich d, weil a mit d multipliziert wurde und s ergab, und i von h ist c, weil b mit c multipliziert wurde…

- 45 — aus 2 der Grundzahl gleichen Zahlen zusammengesetzt istr ist d aus den Zahlen (a. a), (b ♦ b), (c . c) gebildet. Aus dem Vorigen ist aber bewiesen, dass das Produkt der aus den Zahlen a, b, c, zusammengesetzten Zahl in die aus den Za…

— 46 — s . a+s . b. Aber s . a+s . b ist gleich dem Produkt aus s in (a+b), also ist (ad+bc) gleich s ♦ (a+b), w. z. b. w. 62. Sind zwei Zahlen gegeben, so ist die dritte Potenz ihrer Summe um das dreifache Produkt der beiden Zahlen, multip…

_ 4T — Einleitung. Zwei Elemente können in der Ordnung ihrer Zusammenstellung sich auf 2 Weisen unterscheiden, entweder steht das eine voran oder das andre. Die Verschiedenheit der Anordnung von Elementen kann eine zweifache sein; entweder …

- 4*. - schieden er Elemente g 1 ei c h dem Produkt a us der vorigen P c r mu t a t ionszalil und der auf die gegebene folgenden Z a h 1. Es seien die Elemente a, b, c, d, h, ihre Anzahl sei s, die auf s folgende Zahl sei g. Die Anzahl der …

und eine der Verbindungen. der übrigen Elemente war f h g a b, also ist d f Ii g a b eine der aufgezählten Complexionen. Wenn dem aber so ist, d. h. wenn unter allen Complexionen keine zwei gleiche vorhanden sind und es auch ausser diesen k…

--50 — Wir behaupten aber auch, dass es ausseiden aufgezählten keine Complexion gibt, denn wenn das möglich wäre, so sei diese Complexion ch, aber c ist mit jedem der andern verbunden worden, eines der andern ist aber h, also ist cli eine d…

— 51 — gleich 1, also ist die Anzahl der Variationen mter Klasse aus diesen Elementen gleich der durch das Produkt n. 1 dargestellten Zahl. Wir behaupten nun, dass unter den genannten Complexionen nicht zwei gleiche vorkommen. Das ist so, d…

— 52 — durch eine zweite Zahl bestimmten Klasse dieser Elemente ist gleich einer gegebenen dritten Zahl, während die Anzahl der Permutationen von so viel Elementen, wie die zweite Zahl angibt, gleich einer vierten gegebenen Zahl ist, so ist…

üt. Wenn die Z a Ii 1 yerschiedener.Elerneute eine gegebene ist, und es ist die Anzahl der Variationen der d n r c Ii eine zweite gegebene Zahl b e s t i in in t e n Klasse dieser Elemente gleich e i n e r d r i 11 e n Z a h 1 und cl i e Z …

Wir zeigen zunächst, dass, wenn zwei Complexionen der Combinationen dieser Elemente verschieden sind, auch die (Jomplexionen des Restes der Elemente verschieden sein müssen. Denn greifen wir die beiden (Jomplexionen abcd und acdh als versch…

55 — gezahlten Ooniplexionen verschieden sind, so sind die Oombinationen der mten Klasse aus diesen Elementen an Zahl gleich 1. Das kann man auch noch anders beweisen. Wir setzen voraus, dass die Anzahl der Elemente g ist, die Zahlenreihe b…