Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 97

Behauptung: 111, 11, x sind die gesuchten Zahlen. Beweis: n ist gleich m+2hl und x ist gleich m+2hl+2sg, also ist die Hälfte von (n-f-x) gleich m-f-2hl-f sg. Aber m war gleich dem Produkt b . c, multipliziert mit d und vermehrt um die Summe (c-f-h), also ist die Hälfte von (n-f-x) gleich d . (b . c)-f-2hl+sg +(c+h). 23) Nun enthält d . (b . c)-f 2hl+sg+(h+c) den Faktor a so oft, wie das Produkt t . 1 angibt, also ist a in (n-f-x) so oft als Faktor enthalten, wie das doppelte Produkt t . 1 angibt. Bezeichnen wir nun 2 . t . 1 mit y, so ist y der ate Teil von (n-f x). Es ist aber auch (m-f gleich 2m+2hl-f 2sg, daher ist die Hälfte von (m-f x) gleich m-f h . 1-f s . g, aber m ist gleich so viel gleichen Teilen (b . c), wie d angibt, vermehrt um (c-fh), also ist die Hälfte von (m-f x) gleich h . 1-f-s . g-f (c+h)-f d . (b . c). Nun enthält hl-f sg+(c-f h) den Faktor b so viele Male, wie die auf die Differenz von c und a folgende Zahl, d. i. die auf (h-f s) folgende Zahl22), besagt. Wir nennen diese q. Es enthalten aber d gleiche Teile (b . c) den Faktor b so oft, wie das Produkt d. c angibt, weil d gleiche Teile des Produkts (b . c) eine aus d, b, c zusammengesetzte Zahl sind, also enthält die Hälfte von (m-4-x) den Faktor b so oft, wie d . c-f q besagt, also sieht man, dass b in (m-f-x) so oft enthalten ist, wie das um 2q vermehrte doppelte Produkt d . c Einheiten hat. Setzen wir jetzt 2dc-f 2q gleich p, so ist p der bte Teil von (m-fx). Ferner ist (m-f n) gleich 2m-f 2hl, also ist die Hälfte von (m-f n) gleich m-f h . 1, aber m ist gleich d gleichen Teilen (b . c), vermehrt um (c-fh), also ist die Hälfte von (m-fn) gleich h . i+(c-fh)+d(bc). Nun erhält h . 1-f (c-fh) den Faktor c*1) so oft, wie die auf h folgende Zahl angibt, wir setzen diese gleich r. In d gleichen Teilen (bc) ist c so oft enthalten, wie das Produkt d . b besagt. Also ist c in der Hälfte von (m-fn) so viele Male enthalten, wie das um r vermehrte Produkt d. b Einheiten hat, also ist c in (m-fn) als Faktor (2db-f 2r) mal enthalten. Wir bezeichnen 2db-f 2r mit z, dann ist z der cte Teil von (m+n). Wir behaupten nun, dass (m-fy), (n-f p), (x-f-z) einander gleich sind. Beweis: (m+y) ist gleich m+2tl und (n-fp) ist gleich m-|-2hl-)-2dc+2q. Lassen wir in den beiden Ausdrücken das ge-