Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 106

- 4*. - schieden er Elemente g 1 ei c h dem Produkt a us der vorigen P c r mu t a t ionszalil und der auf die gegebene folgenden Z a h 1. Es seien die Elemente a, b, c, d, h, ihre Anzahl sei s, die auf s folgende Zahl sei g. Die Anzahl der Permutationen der Elemente a, b, e, d, h sei t. Die Elemente a, b, c, d, h, f, seien um 1 mehr als die Elemente a, b, c, d, h, ihre Anzahl ist also gleich g. Behauptung: Die Anzahl der Permutationen der Elemente a, b, c, d, h, f, ist gleich dem Produkt t . g. Beweis: f werde mit jeder einzelnen der Complexionen von a, b, c, d, h verbunden, und zwar an erste Stelle gesetzt, es bleiben dann Complexionen, die sich nur durch die Anordnung unterscheiden, daher wird die Anzahl der Complexionen, wenn f das erste Element ist, gleich t sein. Da nun die Permutationen von a, b, c, d, h an Zahl t sind, sind die Permutationen der Elemente a, b, c, d, f auch t. Verbindet man nun h mit ihnen, indem man es vor jede Complexion setzt, so bleiben Complexionen, die sich nur durch die Eeihenfolge unterscheiden, und daher ist die Anzahl der Complexionen, wenn h jetzt an erster Stelle steht, auch gleich t. Ebenso beweist man, dass man jedes Elemeut an erste Stelle setzen kann, und dass die-Anzahl der Complexionen, in denen es an erster Stelle steht, gleich t ist. Also ist die Anzahl der sämtlichen Complexionen gleich t, multipliziert mit der Anzahl der Elemente, deren Anzahl ist aber g. Also ist die Anzahl der Permutationen von a, b, c, d, h, f gleich dem Produkt g. t. Klar ist es, dass unter allen diesen Complexionen nicht 2 vorkommen, die einander gleich sind. Denn als eines der Elemente an erster Stelle stand, waren keine zwei gleiche Complexionen da, denn die Complexionen, mit denen es verbunden wurde, waren verschieden, und so blieben sie es, als es mit ihnen verbunden wurde. Demnach ist es kein Zweifel, dass die Complexionen in der Reihenfolge verschieden blieben, als das erste Element ein andres wurde. Also ist es klar, dass unter allen Complexionen nicht 2 gleiche sind. Wir behaupten aber auch, dass es ausser den aufgezählten keine Complexionen gibt. Denn wenn es der Fall sein könnte, so soll diese Complexion dfhgab sein, aber d war mit den übrigen Elementen auf jede Weise verbunden.