Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 104

— 46 — s . a+s . b. Aber s . a+s . b ist gleich dem Produkt aus s in (a+b), also ist (ad+bc) gleich s ♦ (a+b), w. z. b. w. 62. Sind zwei Zahlen gegeben, so ist die dritte Potenz ihrer Summe um das dreifache Produkt der beiden Zahlen, multipliziert mit ihrer Summe, und um die dritte Potenz der zweitenZahl grösser als die dritte Potenz der ersten Zahl. Die gegebenen Zahlen seien a und b, das Produkt a. b sei c, die dritte Potenz von a sei d, die dritte Potenz von (a-f-b) sei h, die dritte Potenz von b sei s. Behauptung: h ist um 3c (a+b)+s grösser als d. Beweis t (a + b), mit sich selbst multipliziert, ist gleich a2+b2+2.a.b, also ist (a+b)2 gleich a2+b2+2c. Man multipliziere nun (a2-f b2-|-2c) mit (a+b), so enthält man h, weil (a+b)3 gleich h ist. Behauptung: h ist um [3c(a+b)+s] grösser als d. Das ist der Fall, denn, wenn man a* mit (a+b) multipliziert, so erhält man das Produkt a2. a, welches gleich d ist, vermehrt um das Produkt a2 b; und ebenso erhält man bei Multiplikation von b2 mit (a+b) als Resultat das Produkt b2. b, welches gleich s ist, vermehrt um b2. a, also ist das Ergebnis der Multiplikation von (a2+b2) mit ab die Summe [d+s+a2b+b2a] aber a2. b+b2. a ist gleich dem Produkt aus (ab) und (a+b), also ergibt (a2+b2), multipliziert mit (a-f-b), die Summe [d+s+c(a+b)J. Aber c, multipliziert mit (a+b), ergibt c.(a+b) also ergibt 2c, multipliziert mit (a+b), 2c. (a+b). Nun hatten wir als Resultat der Multiplikation von (a2+b2) mit (a+b) die Summe [d+s+c. (a+b)] erhalten, wenn man also [a2+b2+2c] mit (a+b) multipliziert, so ist das Resultat gleich [d+s+3c(a+b)]. Aber [a2+b2+2c]. mit (a+b) multipliziert, ist gleich h, also ist h gleich [d+s+3c . (a+b) ], also ist h um [ 3 (a b) (a+b) + s] grösser als d, w. z. b. w. Durch eben diesen Beweis ist nun schon bewiesen, dass die die dritte Potenz von (a-t-b) gleich d+s+3a2b+3b2a ist. Denn die dritte Potenz von (a+b) ist gleich d+s+3c (a+b). Aber c (a+b) ist gleich der Summe der Produkte a2b und b2a, also ist 3c(afb) gleich dem Dreifachen der Summe der Produkte a2b und b2a, also ist die dritte Potenz von (a+b) gleich d+s+3a2b+3b2a. w. z. b. w.