Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 110

— 52 — durch eine zweite Zahl bestimmten Klasse dieser Elemente ist gleich einer gegebenen dritten Zahl, während die Anzahl der Permutationen von so viel Elementen, wie die zweite Zahl angibt, gleich einer vierten gegebenen Zahl ist, so ist die Anzahl der Variationen der durch die zweite gegebene Zahl bestimmten Klasse von so viel Elementen, wie die erste angibt,gleich dem Produkt der dritten gegebenen Zahl in die vierte. Die Elemente seien a, b, c, d, h, f, ihre Anzahl sei s. Die Zahl der Combinationen der gten Klasse sei t, die Zahl der Permutationen aus g Elementen sei 1. Behauptung: Die Anzahl der Variationen der gten Klasse aus s Elementen ist gleich t. 1. Beweis: Eine der Complexionen aus der Zahl der Combinationen der gten Klasse sei b c d, dann ergeben sich aus derselben durch Permutation 1 neue Complexionen. In gleicher Weise zeigt man, dass sich aus jeder der Complexionen der Combinationen gter Klasse aus diesen Elementen 1 neue bilden lassen, also lassen sich aus der Gesamtheit dieser Complexionen so viele neue ableiten, wie ihre Anzahl, mit 1 multipliziert, angibt. Ihre Anzahl war aber t, also ist die Anzahl aller dieser Complexionen t. 1. Wir behaupten nun, dass unter allen den aufgezählten Complexionen keine zwei gleich sind. Denn da, wo die Elemente verschiedene sind, sind sie permutiert worden, und die Anzahl der Permutationen war 1, wie wir vorausgesetzt hatten. Zweifellos aber können die Complexionen, die verschiedene Elemente enthalten, durch Permutation nicht gleich werden. Wir behaupten ferner, dass keine Complexionen ausser den aufgezählten vorhanden sind. Denn, wenn das möglich wäre, so sei die Complexion f d b, aber alle Elemente b, d, f sind bereits permutiert worden, und eine der Permutationen ist f d b, also ist f d b eine der aufgezählten Complexionen, also ist keine Complexion weiter vorhanden. Wenn dem aber so ist, d. h., wenn unter den aufgezählten Complexionen nicht zwei gleich und keine weiteren vorhanden sind, so ist die Anzahl der Variationen der gten Klasse aus den Elementen a, b, c, d, h, f gleich der durch das Produkt t, 1 dargestellten Zahl, w. zf b, w,