Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 102

— 44 — zeichnen das Produkt mit s, das sei die zweite Zahl, und wir behaupten: h -fi- . s ist gleich s + *- . h. Beweis: ~ von s ist gleich d, weil a mit d multipliziert wurde und s ergab, und i von h ist c, weil b mit c multipliziert wurde und h ergab, also ist h + * . s gleich c . b + d. Aber c. b + b ist gleich a. b, also ist a. b uml grösser, als c . b + d, weil b um 1 grösser ist als d, also ist a ♦ b um 1 grösser als h -f . s. Ferner ist s + ~. h gleich d . a -)- c, aber d . a + a ist gleich a . b, also ist a. b um 1 grösser als s -f- . h. Nun war aber a. b auch 1 grösser als h + i . s, also ist h+^ . s gleich s + -~- . h, w. z. b. w. 58. Aufgabe: Drei Zahlen der Art zu finden, dass die Summe der ersten und der dritten die zweite so oft als Faktor enthält, wie eine gegebene Zahl angibt, und dass die Summe der zweiten und dritten die erste so oft als Faktor enthält, wie eine gegebene zweite Zahl angibt. Die gegebenen Zahlen seien a und b. Wir bezeichnen die auf a folgende Zahl mit c, sie sei die erste Zahl. Die auf b folgende Zahl sei d, sie soll die zweite Zahl sein. Dann multiplizieren wir a mit b und ziehen von dem Produkt l ab, die Differenz bezeichnen wir mit s, sie soll die dritte Zahl sein. Wir behaupten dann, dass c, d und s die gesuchten Zahlen sind. Wir wollten, dass (c-f-s) den Faktor d amal, und (d+s) den Faktor c b mal enthält. Beweis: s ist gleich a.b—1 und c ist gleich 1+a, also ist(c-f-s)gleich ab+a, aber ab-f a ist gleich a. d, also ist (c+s) gleich a. d und enthält deshalb den Faktor d amal, da ferner s gleich a.b—1 und d gleich b-f-1 ist, ist (d+s) gleich a. b+b, aber a. b-fb ist gleich c . b, also ist (d+s) gleich c . b. Das Produkt c . b enthält den Faktor c also b mal. Also enthält (c+s) den Faktor d a mal und (d+s) den Faktor d a mal. W. z. b. w. 59. Die Zahl, die sich aus den Quadraten gegebener Zahlen zusammensetzt, ist gleich dem Quadrat der aus den gegebenen gebildeten Zahl. Die gegebenen Zahlen seien a, b, c, die aus den Quadraten a2, b2, c2 zusammengesetzte Zahl sei d, die aus den Zahlen a, b, c, gebildete sei h. Behauptung d ist gleich h2. Beweis: Weil jede Quadratzahl