Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 99

- 41 - die Teile, deren Summe die grössere ist, der gesuchten Zald, °, a ° ' d und l derselben, die Teile, deren Summe kleiner ist, s der Zald " g und ~ von ihr. Wir wollen nun eine Zahl finden der Art, dass die Summe der erstgenannten Teile, von derselben genommen, die kleinere Summe der Teile um ni übertrifft. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller der Nenner der gegebenen Teile, nämb c 1 lieh a, d, h, g, k, sei 1. a von 1 sei n, rf von 1 sei x, von 1 sei y Die Summe der grösseren Teile, von 1 genommen, sei demnach s t (n+x+y). Es seien ferner - von 1 gleich p, - von 1 gleich z, demnach ist die kleinere Summe der Teile (p-j-z). Die Differenz zwischen (n-f-x+y) und (p+z) sei q. Wir bilden nun die Proportion 1 : r=q : m und behaupten, dass r die gesuchte Zahl ist 24). b c 1 Beweis: Wir bezeichnen - von r mit o, von r mit v, , von r a ' d h mit w, demnach ist die Summe dieser Teile (o+v+w). Ferner s t seien - von r gleich i, und , von r sei i, demnach die Summe g ° ' k J dieser Teile (i+j). Nun ist es klar, dass sich b von r zu r, wie - von 1 zu 1 verhält, da sie beide gleich dem Verhältnis a ' ° von -- von a zu a sind. Daher ist es klar, dass das Verhältnis a b von 1 zu b von r gleich dem Verhältnis 1 : r ist, indem a a ° man die inneren Glieder vertauscht. Demnach ist n : o wie 1 : r, und ebenso zeigt man, dass x : v wie 1: r und dass y : w wie 1 : r ist. Addieren wir nun, so ergibt sich, dass die Summe (n+x+y) sich zu (o+v+w) wie 1 : r verhält. Ebenso beweist man, dass (p+z) sich zu (i+j) wie 1 : r verhält. Also verhält sich (n+x+y) zu (o+v+w) wie (p+z): (i+j). Vertauschen wir die inneren Glieder, so erhalten wir (n+x+y): (p+z) wie (o+v+w): (i+j). (n+x+y) ist aber grösser als (p+z), also ist (o+v+w) grösser als (i+j). Sei die Differenz zwischen (o+f+v) und (i+j) gleich f. Da nun (n+x+y) sich zu (o+v+w) wie 1 zu r verhielt, und (p+z) zu (i+j) sich auch wie 1: r verhält, so bilden wir die f Differenzen und erhalten q: f wie 1: r. Also ist das Verhältnis von q zu m und zu f dasselbe, also ist m=f. Nun war die Differenz von (o+v+w) und (i+j) gleich f, also ist die Differenz