Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 107

und eine der Verbindungen. der übrigen Elemente war f h g a b, also ist d f Ii g a b eine der aufgezählten Complexionen. Wenn dem aber so ist, d. h. wenn unter allen Complexionen keine zwei gleiche vorhanden sind und es auch ausser diesen keine gibt, so ist die Zahl der Permutationen der Elemente a b c d h f gleich dem Produkt g. t, w. z. b. w. Damit ist bewiesen, dass die Anzahl der Permutationen gegebener Elemente, gleich der Zahl ist, die sich aus den Zahlen der natürlichen Keine von 1 bis zu der Zahl zusammensetzt, die die Anzahl der gegebenen Elemente bestimmt. Denn die Permutationszahl von 2 ist 2, und das ist gleich 1 . 2, die Permutationszahl von 3 ist gleich dem Produkt 3.2, das gleich 1 .2 .3 ist, und so zeigt man das ohne Ende weiter. 64. Die Anzahl der Variationen zweiter Klasse einer gegebenen Anzahl verschiedener24) Elemente is t gleich dem Produkt aus der gegebenen Zahl in die ihr vorangehende. Die Elemente seien a, b, c, d, h, ihre Zahl sei s, die Zahl vor s sei g. Behauptung: Die Variationen 2ter Klasse der Elemente a, b, c, d, h ist gleich der Zahl, die durch das Produkt s . g ausgedrückt wird. Beweis: Stellt man a an erste Stelle und verbindet es mit jedem der übrigen Elemente, deren Anzahl g ist, so sind die verschiedenen Complexionen, an deren erster Stelle a steht, gleich g. So zeigt man, dass jedes der übrigen Elemente an erste Stelle gesetzt werden kann, und dass die Anzahl der Complexionen, wenn es an erster Stelle steht, gleich g ist. Demnach ist die Anzahl aller dieser Complexionen gleich g, multipliziert mit der Anzahl der Elemente. Die Zahl der Elemente ist aber s, also ist die Anzahl dieser Complexionen gleich g. s. Wir behaupten, dass von allen Complexionen, die wir aufgezählt, nicht 2 gleich sind, die sicli etwa nicht durch die Elemente oder durch die Reihenfolge unterscheiden. Denn wenn eines der Elemente an erster Stelle steht, können nicht 2 gleiche Complexionen entstehen, denn die Elemente, die mit ihm verbunden werden, sind verschieden, und gleich könnten sie zweifellos doch nicht sein, wenn das erste Element in beiden nicht gleich ist, denn wenigstens unterscheiden sie sich durch die Reihenfolge, also sind in diesen Complexionen keine zwei gleiche vorhanden, 4