— 10 — die Kunstgriffe aller Schriftsteller und ihre Grundlagen begreifen und, wenn Gott ihn durch Verleihung von Verstand begünstigt habe, deren neue erfinden können. Nachdem er sodann den Zweck der Arithmetik dargelegt, geht er zur Defini…

— 11 — besondere Rechnungsart an, obgleich ihr Ziel mit dem der Addition identisch sei; das geschehe aber nur, weil die Operation, sich bei beiden verschieden gestalte. Die Verdoppelung und die Multiplication stimmten aber in Ziel und Opera…

— 12 — oft noch die hebräischen Buchstaben zur Bezeichnung der Zahlen an, und zwar manchmal in der althergebrachten Weise, bei der das ganze Alphabet benutzt wird, manchmal nach dem Positionssystem, welches nur von den 9 Buchstaben $f 2, .1…

… 25. 25 24 2 -f 49 625. (3 a — 1) 2 (3 a) 2 - [(3 a — 1) + 3 aj 23. 23 24 8 ~ 47 529. Die drei letzten Formeln hat auch Abraham ibn Esra in seinem Sefer-Hamispar angewandt. Misrachi geht weiter und giebt (5a)2 10 a2. 2^, (5 a -f- 1) 2 (5 a) 2 -\- [(5 a -\-…

— U — 3. Wenn 2 a b -f c und b > c ist, so ist a 2 b c + (b - a)2. 4. Wenn a b + c ist, so ist a 2 -f b 2 2 ab -f c 2, 4 ab -f c 2 (a -f b) 2, *.+.—,k;)"+(»">■+--• (co"+ö+Ol Der Rest des zweiten Kapitels ist der S u m m a t i o n verschiede…

— 1 o — ausdrückt, und mittels deren er auch die Summe der Reihe a+a.23+a.33+... + a.n3 1 3 I 2 3 1 3 1 S I 2 3 _|_ 3 3 1 3 I 2 3 findet, durch die Bemerkung, daß---.—pr------- 2,————--:—------7--^ %i ö 1+2 1 1+2+3 1+2 . 13 + 23 + ... + ns+…

…n, um die Zusammengehörigkeit beider Zahlen auszudrücken." Er erwähnt dann die von den arabischen Gelehrten, denen sich Abraham ibn Esra angeschlossen habe, vorgenommene Einteilung der Brüche in aussprechbare und stumme, die nichts mit dem Wesen der Brüche…

— 17 — Als Beispiel der Multiplication von Bruch-Brüchen giebt er JLi_3J_?_jA JJJjJL JL — 1728 3! 4 | 5 | * ~4 ~T b ~~ 8400 ' Die allgemeine Regel der Multiplication drückt er in den Worten aus: „Multipliziere Nenner mit Nenner und Zähler m…

— 18 — ist, addiert er die Gleichung 1 — *U 3/4 5 es ergiebt sich, da 47/60 -|- 3/4 92/60 1 8/15 ist, 1 -|- V3 -f- V5 ~ l8/io' un(i da m der That 1j3 + V5 8/iö ist, so stimmt die Probe. Ebenso verfährt er noch mit 1 — 1j3 — 2/3 und 1 — 4/5.…

… ist von den Indern und Griechen angenommen worden und hat sich, durch das schon erwähnte Werk „Almagest" des Kl audins Ptolemaeus zu allgemeiner Geltung gebracht, bis in die Gegenwart behauptet. Der 360ste Teil des Kreisumfangs hieß bei den Griechen…

— 20 — mit Woche, Tag, Stunde, Minute, u. s. w. rechnen könne; nur seien dann die Zahlen 1.2 und 30 durch 7 und 24 zu ersetzen. Bei den Beispielen, die er giebt, wird in der Summe die Zahl der ganzen Umläufe, resp. der ganzen Wochen weggela…

— 21 — Laufe der Kechnrmg erforderlichen Subtractionen liefern, werden über die entsprechenden Ziffern des ßadieanden gesetzt, die dann als ungültig angesehen werden. Nach dieser Methode berechnet er v/2025 45, ^6169002849 78543. Wenn der E…

— 22 — Wenn der Nenner keine Quadratzahl ist, so soll der Bruch erst mit demselben erweitert und dann die Wurzel aus beiden Gliedern gezogen werden. Beispiel: y'2^°/5 V100°/25 Ol 0 07/ 90// 61 *' ~ 0 10' 28". 5 Gemischte Zahlen werden in un…

— 23 — in Form von Fragen und Antworten gegeben wird; die dabei angewandten Sätze werden, zum Teil unter ausdrücklicher Bezugnahme auf die Arithmetik des N i k o m a c h u s von Gerasa besonders ausgesprochen. Für die Ausziehung der Kubikwu…

— 24 - 2. Bei einer ungeraden Anzahl von Zahlen ist die Differenz zwischen dem Quadrat der mittleren und dem Produkt der ersten in die letzte gleich dem Produkt aus der Differenz zwischen der mittleren und ersten in die Differenz zwischen d…

— 25 — 2 Die Summe der Produkte der mittleren Zahl in jede der beiden anderen ist gleich dem doppelten Produkt der ersten in die letzte. So z. B. ist 4 . 3 -|- 4 . 6 2 . (3 . 6). Nachdem noch gezeigt worden ist, wie jede der Zahlen a, b, c,…

…Weg von 17 Mil*) weit für 19 Peschutim**) fortschaffe. Derselbe bringt 7 Centner 11 Mil weit. Wie viel Lohn erhält er? [Abraham ibn Esra, Sefer-Hamispar (ungedruckt); ganz ähnlich in „Algebra with Arithnietic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupt…

— 27 — Werke Diophants, Leipzig 1890), z. B. No. 23; Colebrooke, p. 42; Scritti di Leonardo Pisano, pubblicati da Bald. Boncompagni. Koma, 1857. I, pag. 183; Mohammed Beha-eddin, Essenz der Rechenkunst. Arabisch und deutsch von Nesselmann. …

— 28 ~ hinter einander verdoppelt, und jeden Tag hat er den Armen 2 Peschntim gegeben. Da war all sein Geld hingegeben. Wie viel hatte er anfangs gehabt? |ibn Esra; ähnlich Colebrooke p. 196 und Leonardo Pisano I, p. 258 und 329.] 22. Jeman…

— 29 - der erste die Hälfte, der zweite der dritte '/4 des Gewinns erhalten sollte. Der Gewinn betrug 12. "Wie viel erhielt jeder? [Misrachi fügt hinzu, daß die Aufgabe unmöglich sei, ^eil Vi + V. + V* > 1 ist-] 32. Drei Männer hatten zusam…