Programm · 1893-01-01 · 1893 · p. Seite 14

— U — 3. Wenn 2 a b -f c und b > c ist, so ist a 2 b c + (b - a)2. 4. Wenn a b + c ist, so ist a 2 -f b 2 2 ab -f c 2, 4 ab -f c 2 (a -f b) 2, *.+.—,k;)"+(»">■+--• (co"+ö+Ol Der Rest des zweiten Kapitels ist der S u m m a t i o n verschiedener Reihe n gewidmet, die in dem ersten Kapitel noch nicht gelehrt werden konnte, weil die Auswertung" der Summe eine Multiplication erfordert. Den Anfang macht die Reihe der natürlichen Zahlen. M i s r a c h i ermittelt die Summe 1 -f- 2 + 3 -(-...-)- n, jenachdem n gerade oder ungerade ist, beziehungsweise durch Berechnung der identischen Ausdrücke (n -|- 1\ —5 -{- — \ n. Darauf 2 V 2 As lehrt er die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis zu einer gegebenen Grenze kennen und zeigt, daß diese Summe gleich dem Quadrat die Anzahl der Zahlen ist. Dann wird in derselben Weise die Reihe der geraden Zahlen betrachtet und summiert. Der Vollständigkeit wegen wird auch gezeigt, Avie man verfahrt, wenn eine der betrachteten Reihen nicht mit 1. resp. 2, sondern mit einem späteren Gliede beginnt. In diesem Falle soll zunächst die Summe aller Glieder von 1, resp. 2 an bestimmt und von derselben die Summe der nicht geltenden Glieder subtrahiert werden. Endlich wird die Summe der arithmetischen Reihe allgemein für ein beliebiges Anfangsglied und eine beliebige Differenz ermittelt. Eigentümlich ist die Begründung der Formel für die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer vorgeschriebenen Grenze: Das Verhältnis von 1 zur folgenden Zahl, d. i. 2, hat den Wert 1I2; das Verhältnis von 1 -)- 2 zur folgenden Zahl, d. i. 3, hat den Wert 1 j ist also um 1I2 größer als das vorhergehende Verhältnis. Weiter ist (1 -f- 2 -f- 3): 4 11/2, also 1I2 mehr als 1. So nimmt das Verhältnis für jede neu hinzutretende Zahl um 1j2 zu, und auf Grund dieser Bemerkung läßt sich allerdings die in Rede stehende Formel in aller Strenge beweisen. An die arithmetischen Reihen schließt sich die Reihe der Quadrate der natürlichen Zahlen. Misrachi rechnet verschiedene Beispiele nach der Formel 1 2 —f- 2 2 —{- 3 2 -f- ...-(-n2 n -f 1 /2 n . 1 \ —p—. n. ——f- —j. Er vergißt auch nicht, an einem Beispiele zu erläutern, daß wenn das erste Glied nicht 12, sondern eine andere Quadratzahl ist, man vermittels zweier Additionen und einer Subtraction die verlangte Summe findet, Ebenso betrachtet und summiert er Reihen, die entstehen, indem man die Reihe der Quadratzahlen mit der nämlichen Zahl multipliziert, wie z. B. 3-|-12 + 27 + 48 + -«- Bei der Begründung der obigen Formel geht er folgendermaßen zu Werke; Er vergleicht die Summe der Quadrate mit der Summe der Zahlen selbst und findet, daß das Verhältnis beider Summen für jede neu hinzu tretende Zahl um 2/3 wächst. In der That ist 1 2 : 1 1, (1 2 + 2 2) : (1 -f 2) 1 2/3, (1 2 -|- 2 2 -(- 3 2): (1 -(- 2 -f- 3) 2 u. s. w. und, diese Bemerkung würde, richtig benuzt, einen strengen Beweis der Formel 1 2 -f 2 2 -f 3 2 + . , . -f n 2 [) I^+Jl^ 2 . 3 geben. Weiter summiert Misrachi die Kuben der natürlichen Zahlen. Er begründet die Formel 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . -f n 8 (1 -f 2 -f 3 + . ,. -f n) 2, die er natürlich in Worten