— 16 — hauptung: die Zahl der graden Zahlen bis ab ist gleich der Anzahl der ungraden Zahlen bis ab, 1 niitgereclmet. Beweis: Wir teilen ab in die Anzahl seiner Einheiten, es seien dieses ac, cd, dh, ab. Siehe, weil ab gerade ist, ist ah un…

die Zahlen der Reihe nach ihr as, ag, ah. Behauptung: Die Differenz zwischen ab und ah ist gleich der Differenz zwischen at und ab. Beweis: Die Anzahl der Zahlen ah, ad, ac ist gleich der Anzahl der Zahlen as, ag, at, aber die Anzahl der Za…

— IS — so bleibt dg gleich b, aber gs ist auch die Differenz zwischen a und 1, und shist gleich 1, also ist hg gleich a, dg war aber gleich b, also ist dh gleich der Summe von a und b, w. z. b. w. 25. Wenn man 2 Zahlen addiert und die eine …

— 19 — schliesslich eine Zahl zwischen ihnen sein, dann mtisste also die grössere um 2 grösser sein als die zu ihr gehörige. Nennen wir nun die Differenz zwischen der letzten Zahl der Reihe und der grösseren dieser 2 Zahlen t, so wird die k…

— 20 — der auf diese folgenden, so ist das Produkt gleich der Summe der Zahlen. Die Zahlen seien a, b, c. d, h, f, s, die auf s folgende Zahl sei k. Behauptung: 1/2 s.k ist gleich der Summe (a+b+c+d+h+f+s). Beweis: Da a+s=2 d ist, weil a=l …

— 21 — (a+c+h+s) so oft als Faktor enthalten ist, wie die Anzahl der Glieder angibt. Da nun d eine grade Zahl ibt, ist die Anzahl der ungraden Zahlen vor d gleich der Hälfte von d. Es ist aber bereits bewiesen, dass die Anzahl der auf d fol…

die hinzugefügte Zahl Ii .grösser als h2, w. z. b. w. 'Aus diesem Beweise ergibt sich, dass die Summe der Zahlen der natürlichen Reihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl gleich ist dem Quadrat der gegebenen Zahl vermehrt um deren Hälfte. 32.…

— m ~~ drate aller dieser Zahlen. Man Jaddiere die Summen (a+b+c+d+h)^ (b+c+d+h), (c+d+h), (d+h) und h. Behauptung : Das Resultat ist gleich der Summe (a2+b2+c2+d2+h2). Beweis: Jede der Zahlen, a, b, c, d, h ist in diesen Zahlen so viele Ma…

— 24 — Summe (a+b+c-f-d+h). Nun ist aber die Anzahl der Aggregate, deren erste Glieder der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, gleich der Anzahl der Einheiten des letzten, nämlich h, weil die Anzahl der Zahlen bis h gleich der Anzahl der E…

doppelten Summe der Quadrate der graden Zahien bis Ii, also von 1) und d, ist. Beweis : das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate (a2-f-b2-|-c2-|-<l2+]i2), vermindert um (a-|-b-f -c-|-d-|-h). Der Rest von (d2-f-h2), wenn man (cl-f-h) d…

also ist das Produkt! (a+b+c+d+h+f) gleich der dreifachen Summe (a2+c-'+h2), vermehrt um die Summe (a+b+c+d+h+f). Nun ist f. (a+b+c+d+h+f) um (a+b+c+d+h+f) grösser als h. (a+b+e+d+h+f). Also ist h . (a+b+c+d+h+f) gleich 3 (a2+c2+h2), w. z. …

39. Zieht man eine g e gebe n e Z a h 1 v o u i Ii r c m Quadrat ab, so ist die Hälfte des Bestes gleich der Su in in e der Zahlen der natürlichen Beihe von 1 bis zu der Zahl vor der gegebenen, f werde von f2 abgezogen, die Zahl vor f sei h…

— 28 — welches gleich h2 ist, vermehrt um das Produkt aus h in die Summe [(a+b+c+d)+(a+b+c+d)], welches gleich 2 h (a+b+c+d) ist, also ist h3 gleich h2-f-2. h (a+b+c+d). Nun ist aber das Quadrat (a+b+c+d+h)2 gleich h2, vermehrt um das doppe…

— 29 — f2, weil f die mittlere Zahl ist, also ist die Summe (a3-f-b3-f-e3) gleich der Summe der ungraden Zahlen der Folge a, b. c, d, h, f, s, g, t, k, 1, w. z. b« w» 44. Addiert man zu dem Produkt zweier Zahlen eine gegebene dieser Zahlen,…

— 30 — trennen wir von sg das Stück szj das gleich b ist, ab, es bleibt zg gleich h." Ebenso seien tw, ly gleich b, und es bleibt jeder der Teile wk, ym gleich h. Dann teilen wir zg in Teile, die der Einheit gleich sind, die der Einheit gle…

— 31 - grösste Zahl und die Differenz zwischen der mittleren und der kleinsten und die Differenz zwischen der grösston und der mittleren, so ist diese ganze Summe gleich dem doppelten Produkt aus der mittleren in die um 1 verminderte grösst…

— 32 — c. (1, vermehrt um d, enthält den Faktor a so viele Male, wie d Einheiten hat, da a um 1 mehr ist als c, also ist das Produkt c. d, vermehrt am d, gleich dem Produkt a. d. Und da nun b um h grösser ist als a, ist b gleich (a+h). Also…

49. Wenn drei verschiedene Zahlen gegeben sind, deren kleinste um eine gegebene Zahl grösser ist als 2, und man bildet das doppelte Produkt aus der uml verminderten grössten Zahl in die Differenz der mittleren und der kleinsten, addiert daz…

— 34 — Zahlensumme (b+k+t), gleich dem doppelten Produkte k. g, vermehrt um die Zahlen summe (b+k+t). Aber das doppelte Produkt k. g vermehrt um die Summe (b-f-k-j-t) ist gleich dem doppelten Produkt s. g weil die Summe (b+k+t) gleich 2 g i…

~- 35 ~~ Aber t. k ist um t grösser als t. d, weil k um t grösser ist als d, also ist d(ab)+t. k gleich d . (sg)+d . k+d . g+t. Addieren wir nun d . k+d. g+t zu 2g. h+b+h, das uns geblieben war, so ist das Ergebnis 2gh+dk+dg+b+h+t. Addiert …