Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 80

die hinzugefügte Zahl Ii .grösser als h2, w. z. b. w. 'Aus diesem Beweise ergibt sich, dass die Summe der Zahlen der natürlichen Reihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl gleich ist dem Quadrat der gegebenen Zahl vermehrt um deren Hälfte. 32. Addiert man Summen von natürlichen Zahlenreihen, die mit 1 beginnen und deren erste Glieder der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, bis man zu einer bestimmten Zahl gelangt, so ist die Summe gleich der Summe der Quadrate der der gegebenen Zahl entsprechenden Zahlenart, d. h. das Ergebnis ist gleich der Summe der Quadrate der graden oder ungraden Zahlen bis zu der gegebenen Zahl, je nachdem diese grade oder ungrade ist. a sei 1 und werde zu den Summen (a+b), (a+b+c), (a+b+c+d), (a+b+c+d+h), (a+b+c+d+h+f) addiert, f sei eine grade Zahl. Behauptung: Das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate von d, b, f, welches die graden Zahlen sind. Beweis: Die Summen der Aggregate (a+b+c+d+h+f), und (a_(_b4-c+d-fe) ist gleich f2 und die Summe der Aggregate (a+b+c+d) und (a+b+c) ist gleich d2, und die Summe der Aggregate (a+b) und a ist gleich b2, also ist die Summe der Aggregate (a+b), (a+b+c), (a+b+c+d), (a+b+c+d+h), (a+b+c+d+h+f)=b2+d2+f2. Sei nun die letzte Zahl ungrade, so wird behauptet, dass das Resnltat gleich der Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis zu der gegebenen Zahl ist, 1 mitgerechnet. Beispiel:. das letzte Aggregat sei (a+b+c+d+h+f+s). Behauptung : Das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate der ungraden Zahlen, a, c, h, s. Beweis : Die Summe der Aggregate (a+b+c+d+h+f+s) und (a+b+c+d+h+f) ist gleich s2, die Summe der Aggregate (a+b+c+d+h) und (a+b+c+d) ist gleich h2, die Summe der Aggregate (a+b+c) und (a+b) ist gleich c2, es bleibt a übrig, dass offenbar gleich seinem Quadrat ist, weil a doch 1 bedeutet, also ist das Resultat gleich a2+c2+h2+s2, w. z. b. w. 33. Addier t man S u m m e n von Zahlenreihen, deren erste Glieder eine natürliche Zahlenreihe bilden und deren erste bei 1 anfängt und sich bis zu einer bestimmten Zahl erstreckt, so ist das Ergebnis gleich der Summe der Qua-