Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 81

— m ~~ drate aller dieser Zahlen. Man Jaddiere die Summen (a+b+c+d+h)^ (b+c+d+h), (c+d+h), (d+h) und h. Behauptung : Das Resultat ist gleich der Summe (a2+b2+c2+d2+h2). Beweis: Jede der Zahlen, a, b, c, d, h ist in diesen Zahlen so viele Male enthalten, wie sie Einheiten besitzt. Für jede Zahl gilt nämlich, dass die Anzahl der Zahlen bis zu ihr gleich der Anzahl ihrer Einheiten ist. Jede Zahl befindet sich aber in den Aggregaten, die mit den Zahlen beginnen, die in der natürlichen Reihe bis zu ihr vorkommen, und sie befindet sich nicht in den Aggregaten, die mit Zahlen beginnen, die in der natürlichen Reihe hinter ihr stehen, denn es ist unmöglich, dass die kleinere Zahl hinter der grösseren vorkommt, also ist jede der Zahlen a, b, c, d, h in diesen Aggregaten so viele Male enthalten, wie sie Einheiten besitzt, daher kommt sie als das Quadrat in dem Resultate vor, also müssen diese Aggregate, addiert, gleich der Summe der Quadrate a2+b2+c2+d2+h2 sein, w. z. b. w. 34. Addiert man Summen von natürlichen Zahlenreihen, deren erste mit 1 beginnt und bei einergegebenenZahl endet, und deren erste Glieder der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, und addiert dazu Summen von Zahlenreihen, die mit 1 beginnen, und deren letzte Glieder der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, bis man zu der Zahl vor der gegebenen gelangt, so ist das Resultat gleich dem Produkt aus der letzten Zahl in die Summe der Zahlen der natürlichen Zahlenreihe von 1 bis zu ihr. Man addiert die Summe der Aggregate (a+b+c+d+h), (b+c+d+h), (e+d+h), (d+h), h zu der Summe der Aggregate a, (a+b), (a+b+c), (a+b+c+d). Behauptung: Das Resultat ist gleich dem Produkt aus h und der Summe (a+b+c+d+h). Beweis : Das erste Aggregat der Reihensummen, deren Anfänge der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, ist (a+b+c+d+h), man addiere nun a zu (b+c+d+h), (a+b) zu (c+d+h), (a+b+c) zu (d+h), (a+b+c+d) zu h und erhält jedesmal (a+b+c+d+h). Wenn man also jedes der Aggregate, deren Anfänge der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, zu dem entsprechenden der Aggregate addiert, deren Enden der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, so ist jedes Resultat gleich der