Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 86

— 28 — welches gleich h2 ist, vermehrt um das Produkt aus h in die Summe [(a+b+c+d)+(a+b+c+d)], welches gleich 2 h (a+b+c+d) ist, also ist h3 gleich h2-f-2. h (a+b+c+d). Nun ist aber das Quadrat (a+b+c+d+h)2 gleich h2, vermehrt um das doppelte Produkt aus h und der Summe (a+b+c+d) und das Quadrat (a+b+c+d)2, also ist h3 vermehrt um das Quadrat (a+b+c+d)2 gleich dem Quadrat (a+b+c+d+h)2, w. z. b. w. Allerdings hat 1 keine Zahl vor sich, aber seine dritte Potenz ist dem Quadrat der Summe der natürlichen Reihe bis zu ihm gleich, denn es stellt selbst die Summe der Reihe bis zu ihm und deren Quadrat dar, und es selbst ist seine dritte Potenz{ das ist sehr klar. 42. Das Quadrat der natürlichen Zahlenreihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahlist gleich der Summe der d r i tten Protenzen der Zahlen von 1 bis zu der gegebenen. Die Summe sei (a+b+c+d+h). Behauptung: Das Quadrat (a+b+c+d+h)2 ist gleich der Summe der dritten Potanzen von a, b, c, d, h. Beweis: Das Quadrat (a+b+c+d+h) ' ist gleich h3+(a+b+c+d)2, aber das Quadrat (a+b+c+d)2 ist gleich da+(a+b+c)2, und dieses Quadrat ist gleich c3+(a+b)2. Und siehe, (a+b)2 ist gleich b3+a2, a2 ist aber selbst gleich a3, also ist das Quadrat (a+b+c+d+h)2 gleich der Summe der dritten Potenzen der Zahlen, a, b, c, d, h, w. z. b. w.16) 43. Ist eine gegebene Zahl gleich der Summe einer gegebenen natürlichen Zahlenfolge, die mit 1 beginnt, und ist die gegebene Zahl die mittlere einer Zahlenreihe, d. h. das arithmetische Mittel zwischen 1 und der letzten, so ist die Summe der dritten Potenzen der gegebenen Reihe gleich der Summe der ungrade d Zahlen der zweiten Zahlenreihe, 1 mitgerechnet. Die Zahl f sei gleich der Summe (a+b-f-c), f sei die mittlere Zahl der Reihe a, b, c, d, h, f, s, g, t, i, k, die bei 1 beginnt. Behauptung: Die Summe der ungraden Zahlen von a, b, c, d, h, f, s, g, t, i, k ist gleich der Summe a3+b3+c3. Beweis: a3+b3+c3 ist gleich f2 und die Summe der ungraden Zahlen aus der Folge a, b, c, d, h, f, s, g, t, i, k ist auch gleich