Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 79

— 21 — (a+c+h+s) so oft als Faktor enthalten ist, wie die Anzahl der Glieder angibt. Da nun d eine grade Zahl ibt, ist die Anzahl der ungraden Zahlen vor d gleich der Hälfte von d. Es ist aber bereits bewiesen, dass die Anzahl der auf d folgenden ungraden Zahlen ebenso gross ist wie die der vorangehenden, also ist die Anzahl der ungraden auf d folgenden Zahlen gleich der Hälfte von d. Demnach ist die Anzahl der vorangehenden und folgenden ungraden Zahlen gleich d. Bewiesen ist, dass die Summe (a+c+h+s) den Faktor d so oft enthält, wie die Zahl dieser Terme angibt, also d mal, also enthält die Summe (a+c+h+s) den Faktor d so viele Male, wie d Einheiten hat, also ist die Summe (a-f-c-|-h-f-s)~d-, w* z. b. w. 30* Addiert man die Summe der Zahlen der natürlichen Zahlenreihe von eins bis zu einer gegebenen Zahl zu der Summe der Zahlen bis zu der auf die gegebene Zahl folgenden, so ist das Ergebnis gleich dem Quadrat der auf die gegebene folgenden Zahl. Man addiere die Summe der Zahlen a, b, c, d, h zu der Summe der Zahlen a, b, c, d, h, f, und es sei a=l, so wird behauptet, dass das Resultat gleich dem Quadrat von f ist. Beweis : Die auf f folgende Zahl bezeichnen wir mit s. Nun ist bewiesen, dass die Summe (a-j-b-|-c+d+h)=72 h . f ist, und dass die Summe (a+b+c+d-j-h -|~f)=1/2 f s ist. Aber V* f s ist gleich 1/2 s. f, weil die Faktoren einer Proportion genügen. Also ergeben die Summen (a+b+c-f-d+h) und (a+b+c+d+h+f), addiert, 1/2 h . f+Vs s . f, das ist aber gleich dem Produkt aus 1/2 (h-j-s) und f, und da (h+s)=2f ist, ist ihre Hälfte gleich f, also ergeben die Summen (a-j-b+c+d+h) un(| (a+b+c+d+h+f), addiert, das Produkt f.f, das ist aber gleich f2, w. z. b.*w. 31. Die doppelte Summe der Zahlen der natürlichen Zahlenreihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl ist gleich der gegebenen Zahl vermehrt um ihr Quadrat. Die Reihe der Zahlen sei a, b, c, d, h; a sei gleich 1. Behauptung: Das Doppelte der Summe (a-fb+c+d+h) ist gleich li+h2. Beweis: Wenn man die Summen (a+b+c+d+h) und (a+b+c+cl) addiert, so ist das Resultat gleich h2, also ist die Summe der Aggregate (a+b+c+d+h) und (a+b+c+d+h) um