Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 82

— 24 — Summe (a+b+c-f-d+h). Nun ist aber die Anzahl der Aggregate, deren erste Glieder der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, gleich der Anzahl der Einheiten des letzten, nämlich h, weil die Anzahl der Zahlen bis h gleich der Anzahl der Einheiten von h ist. Also ist in dem Resultat die Summe (a+b-|-c-|-d-f-h) hmal als Faktor enthalten. Man multipliziere also die Summe (a+b+c+^+b) mit h, und das Ergebnis wird gleich dem Resultate dieser Additionen sein, w. z. b. w. 35. Z i e h t m a n zwei auf e i n a n d er folgende Zahlen von der Summe ihrer Quadrate ab, so ist die Differenz gleich dem Doppelten des Quadrats der kleineren Zahl. Die beiden auf einander folgenden Zahlen seien d und h, h sei die grössere. Behauptung: Zieht man von (d2+h-) die Summe (d-(-h) ab, so ist die Differenz gleich 2 d2. Beweis : h2 ist um das doppelte Produkt aus 1 und d, vermehrt um das Quadrat von 1, welches gleich 1 ist, grösser als d2, also ist h2 um (2 d+1) grösser als d2, aber (2 d-f-l) ist gleich (d-f-h), weil h um 1 grösser ist als d, also ist h2 gleich d2 -|-(d-)-h), also ist d2+h2 gleich 2 d24-(d-4-b), zieht man davon (d+h) ab, so ist der Eest gleich 2 d2, w. z. b. w. 36. A d di er t m an die Summen von Reihensummen, die mit eins beginnen, und deren erste Glieder der natürlichen Zahlenreihe bis zu einer gegebenen Zahl entsprechen, und zieht davon die Summe der Zahlenreihe ab, so ist der Rest gleich der doppelten S u in m e d e r Q u a d r a t e der in der Reihe vorko m m enden Zahlen von der Art der vorletzten Zahl, wenn diese grade ist, der graden, wenn sie ungrade ist, der ungrade n Zahlen, eins mitgerechnet. Man addiere die Aggregate (a+b+c+d+h), (b+c+d+h), (c+d+h), (d+h), h und ziehe von dem Resultat die Summe (a-fb+c+d-f-h) ab. Behauptung: Ist die vorletzte Zahl grade, so ist der Rest gleich der doppelten Summe der Quadrate der graden Zahlen bis zu derselben, und ist die vorletzte Zahl ungrade, so ist der Rest gleich der doppelten Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis zu derselben, 1 mitgerechnet. Sei sie zuerst grade, wie es in diesem unsren Beispiele ist. Dann wird behauptet, dass der Rest gleich der