Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 83

doppelten Summe der Quadrate der graden Zahien bis Ii, also von 1) und d, ist. Beweis : das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate (a2-f-b2-|-c2-|-<l2+]i2), vermindert um (a-|-b-f -c-|-d-|-h). Der Rest von (d2-f-h2), wenn man (cl-f-h) davon abzieht, ist aber gleich 2 d2, und der Rest von b2-f-c2, wenn man (b+c) davon abzieht, ist gleich 2 b2, und das Quadrat von a ist ganz fortgefallen, als a, abgezogen wurde, weil a=l ist, also ist der Rest gleich dem Doppelten von (b2-|-d2). Sei nun die verhetzte Zahl ungrade, so wird behauptet, dass der Rest gleich der doppelten Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis zur letzten ist. Die Zahlen seien, a, b, c, d, h, f, die Zahl vor f, nämlich h, sei ungrade. Behauptung: Der Rest ist gleich der doppelten Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis f, nämlich a, c, Ii. Beweis: Das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate (a2-44)24-c~+d2+h-'+f2), vermindert um die Summe (a-f 1>—(—c—(—d—|—Ii—|-f), aber der Rest von (h2+f2), wenn man (h-f-f) abzieht, ist gleich 2 h2, der Rest von (c2-f-d2), wenn man (c-f-d) abzieht, ist gleich 2 c2, und der Rest von (a2+b2), wenn man (a+b) davon abzieht, ist gleich 2 a-, also ist der ganze Rest gleich dem Doppelten der Summe (a2+b2-f-c-), w. z. b. w. 37. Multipliziert man eine beliebige gegebene Zahl mit der S u m m e d e r natürlichen Zahlenreihe von 1 bis zu der auf die gegebene folgenden Zahl, so ist das Produkt gleich der dreifachen Summen der Qua d r a t e der g r a d e n oder ungraden Zahlen bis zu der gegebenen, je nachdem diese grade oder ungrade ist. Man multipliziere h mit der Summe der Zahlen a, b, c, d, h, f. Behauptung: Das Produkt ist gleich der dreifachen Summe der Quadrate der Zahlen, die h entsprechen, das sind die Zahlen a, c, h. Beweis: Das Produkt f (a+b+c+d+h+f) ist gleich der Summe |a+(a+b)+ (a+b+c)4 (a+b+c+d)+(a+b+c+d+h)]+[(a+b+c+d+h+f)+ (b+c+dH-h+f)+(c+d+h+f)+(d+h+f)+(h+f)+f|, aber die Summe [a+(a+b)+(a+b+c)+(a+b+c+d)+(a+b+c+d+h)] ist gleich der Summe der Quadrate (a2+c2+h2), und wenn man von der Summe [(a+b4 c-f d+h+f)-f (b+c+d+h+i)+(c+d+h+f)+ (d+h+f)+(h+f)+f] die Summe (a+b+c-f d+h+f) abzieht, so ist die Differenz gleich der doppelten Summe der Quadrate (a2-fc2+h2),