Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 85

39. Zieht man eine g e gebe n e Z a h 1 v o u i Ii r c m Quadrat ab, so ist die Hälfte des Bestes gleich der Su in in e der Zahlen der natürlichen Beihe von 1 bis zu der Zahl vor der gegebenen, f werde von f2 abgezogen, die Zahl vor f sei h, die Hälfte der Differenz zwischen f2 und f sei s. Behauptung: s ist gleich der Summe der Zahlen von 1 bis h.. Beweis: Das Quadrat f2 ist gleich der Summe (a+b+c+d+n), vermehrt um (a+b+c+d+U+f). Zieht man von der Summe f ab, so bleibt ein Best, der gleich der Summe (a+b+c-f-d+h), vermehrt um die Summe (a-|-b-f-c+d-|-h), ist, also ist die Hälfte des Bestes gleich der Summe (a+b+c+d+h), w. z. b. w. 40. Addiert man eine gegebene Z a h 1 z u d e r Hälfte der Differenz zwischen ihrem Quadrat und ihr selbst, so ist das Resultat gleich der Summe der Zahlen der natürlichen B e i h e von 1 bis zu der gegebenen Zahl, f werde zu der halben Differenz zwischen P und f addiert. Behauptung: Das Resultat ist gleich der Summe (a+b+c+d+h+f). Beweis: f2 ist gleich der Summe (a+b+c+d+h+f), vermehrt um (a-f b+c+d+h). Subtrahiert man nun f und addiert f dann zu der halben Differenz, die gleich der Summe (a-f-b-j-c+d+h) ist, so ist das Besultat (a+h+c+d-|-h-|-f), das ist die natürliche Zahlenreihe von 1 bis f, w. z. b. w. 41. Das Quadrat der Summe der natürlichen Zahlenreihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl ist gleich der dritten Potenz der gegebenen Zahl, vermehrt um das Quadrat der Summe der Zahlen der natürlichen Beihe von Ibis zu der Zahl vor der gegebenen. Die Summe der Beihe sei die Summe (a-fb-f-c+d-f-h). Behauptung: Das Quadrat der Summe (a+b+c+d+h) jsfc gleich der dritten Potenz von h, vermehrt um die Summe (a+b-f-c-fd). Das ist der Fall, weil h3 so oft den Faktor h enthält, wie h2 Einheiten hat, aber h2 ist gleich der Summe der Summen (a-f-b+c+d) und (a+b+c-f-d+h). Multipliziert man also h mit der Summe [(a4-b+c+d+h)+(a.+b+c+d)], so erhält man h3. Aber das Produkt aus h und der Summe [(a-f b-fc+d+h)+(a+b+c+d)] ist gleich dem Produkt h . h,