X' ~ so große Rolle spielen, weil fast alle Beweise auf sie zurückgeführt werden und fast alle Rechnungsarten auf sie zurückgreifen, vgl. Schluß der Einleitung des zweiten Abschnitts, Erst wenn wir so den zweiten Abschnitt des Werkes kennen…

— XI — gelangen können. Im übrigen bieten sie wohl nichts, was über das schon im ganzen Mittelalter, ja schon im Altertum Bekannte hinausgeht. Daß hier im theoretischen Teil die zum Gebiete der Division gehörigen Sätze vorausgenommen sind, …

— XII - licli nur Resultate bezw. Teilresultatc der von Nr. 52 an folgenden Aufgaben, die für uns dadurch an Interesse verlieren, weil der Weg, auf dem sie gefunden sind, nicht angegeben wird. Es wird die Lösung einfach mitgeteilt und deren…

- XIII — Er erübrigt noch, einiges über die dieser Veröffentlichung zu Grunde liegenden Handschriften zu sagen. Zur Verfügung standen durch die freundliche Vermittelung der hiesigen Stadtbibliothek 3 Manuskripte, der Codex 35 der Münchner H…

- XIV — sind sie, wie in den Hdschr., durch Punkte, die über den Buchstaben gesetzt wurden, kenntlich gemacht, da wo sie Zahlenwert haben, durch Striche links vom Buchstaben, so wie sie gewöhnlich bei Abbreviaturen geschrieben werden. Wo Za…

Es spricht Levi ben Gerschom: Da die reclite Vollkommenheit in einer praktischen Tätigkeit darin besteht, dass man neben der Tätigkeit die Art der Ausführung kennt, — warum sie gerade in dieser Weise geschieht —, und da der praktische Teil …

betrifft, so ist es richtig, dass der, der sich mit ihm befasst2), vorher sich mit dem 7ten 8ten und 9ten Buch der Euklid beschäftige, denn es ist nicht unsre Absicht, in diesem Buch seine Worte zu wiederholen8), wir werden sie vielmehr auf…

trifft, wie sie mehr als 1 ist. Die gegebene Zahl ist die „Endzahl2 zu dieser gegebenen Zahl. Die Zahlen zerfallen in grade und ungrade. Der Teil, dessen Nenner grösser ist, ist kleiner. Beispiel: y2 ist grösser als Vs, und die Zahl, durch …

— 4" — dem Produkt ah . c, ist der Faktor c so oft enthalten wie die Einheit in ah, ebenso ist der Faktor c in dem Produkt dh . c so oft enthalten wie die Einheit in dh und in dem Produkt db . c so oft wie die Einheit in db. In ah, hd und d…

dukt ab . bc, also ist das Produkt ab . bc gleich dem Produkt ac . bc, vermehrt um das Quadrat von bc, w. z. b. w. 5. W i r d eine Zahl halbiert u n d u m c i n e b e 1 i e b i g e Z a h 1 vermehrt, so ist das Produkt aus der hinzugefügten …

— 6 — gleich der Summe der Quadrate von ab und bc, vermehrt um das doppelte Produkt aus ab und bc, w, z. b. w. 7. A d d i e r t in a ri zu einer beliebigen Z a h 1 eine beliebige andere, so ist das Quadrat der Su m m e g 1 e i ch d e m Prod…

dem Produkte ad . db,. vermehrt um das Quadrat von cd, w. z. b. w. 0. 8)Wenn man eine aus zwei Zahlen zusammengesetzte Zahl mit einer Zahl multipliziert und' das Resultat eine gewisse Zahl ist, so erhält man dieselbe Zahl als Resultat, wenn…

aus den Zahlen a, c, Ii zusammengesetzte Zahl mit d, so ist das Resultat gleichfalls sg. Beweis: Wir teilen sg in Teile, die der aus den Zahlen c, d, h zusammengesetzten Zahl gleich sind, seine Teile seien, st, tl, lg. Siehe, die Anzahl die…

— 9 — und jeder dieser Teile enthält das Produkt c.h so oft, wie d Einheiten hat. Nun enthält sg das Produkt c.h so oft als Faktor wie seine Teile zusammen, die Teile zusammen aber enthalten es so oft, wie ihre Anzahl, multipliziert mit d, …

— 10 a. d. g so oft als Faktor, wie das Produkt h. s Einheiten hat, da jeder von ihnen gleich a. d. h. s. g ist. Nun enthält tk als Ganzes a. d, g so oft als Faktor, wie das Produkt h. s. multipliziert mit ihrer Anzahl, die gleich dem Produ…

— 11 — t. d ♦ h ♦ s wurde mit c mulipliziert und ergab x und mit k multipliziert und ergab y, also verhält sich x : y wie c : k. Ebenso multiplizieren wir die Zahl t. k , h . s mit 1 und setzen das Ergebnis gleich p, man zeigt dann wie vorh…

— vi — ä, b, c, d zu den Zahlen h, s, g, t zusammensetzt, gleich dem Verhältnis ist, das sich aus den Zahlen a, b, c, d zu den Zahlen h, g, t, s zusammensetzt^ gleich dem Verhältnis k: 1, also ist das zusammengesetzte Verhältnis der Zahlen …

— 13 — Zahlen g und t kleiner als c sein. Sei die Zahl, die kleiner als c ist, g, dann muss g entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl sein. Wäre sie prim und kleiner als c, so wäre a nicht prim zu allen Primzahlen, die kleine…

— 14 — gleiche Teile f wie h Einheiten, und deshalb enthält n so viele gleiche Teile f wie t Einheiten. Man beweist nun auf die vorige Weise, dass 1 : n sich wie c : t verhält, und ebenso beweist man, dass n : y sich wie d : k verhält, also…

- 15 - seien - von q ■= r, der Eest sei v. Behauptung y v. Beweis: a wurde mit b multipliziert und ergab 1. Also verhält sich a : 1 wie l:b. Man, zeigt nun nach dem vorhergehenden Beweis, dass 1 : n sich verhält wie c : t und n : y wie d : …