Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 69

— 11 — t. d ♦ h ♦ s wurde mit c mulipliziert und ergab x und mit k multipliziert und ergab y, also verhält sich x : y wie c : k. Ebenso multiplizieren wir die Zahl t. k , h . s mit 1 und setzen das Ergebnis gleich p, man zeigt dann wie vorher, dass y : p sich so verhält, wie d : 1, ebenso multiplizieren wir die Zahl t. k . 1. s mit der Zahl m, das Resultat sei z, und es zeigt sich gleichfalls, dass p : z sich verhält, wie h : in, und auf dieselbe Weise wird bewiesen, dass z : g sich wie s : n verhält. Und wenn die Sache so ist, ist es klar, dass sich das Verhältnis a : g aus 5 Verhältnissen zusammensetzt, aus a : x, aus x : y, aus y : p, aus p : z und aus z : g. Nun ist bereits gesagt, dass jedes dieser Verhältnisse gleich dem entsprechenden aus der Reihe der Verhältnisse der Zahlen b, c, d, h, s zu den Zahlen t, k, 1, m, n ist; also setzt sich das Verhältnis a: g aus 5 Verhältnissen zusammen, aus dem Verhältnis b : t, dem Verhältnis c : k, dem Verhältnis d : 1, dem Verhältnis h : m und dem Verhältnis s : n; w. z. b. w.9) 14. Wenn ein Verhältnis sich aus beliebigen Zahlen als Vordergliedern und beliebigen Zahlen als Hintergliedern zusammensetzt und man die Ordnung entsprechender Glieder verändert, so dass die Vorderglieder Vorderglieder und die Hinterglieder Hinterglieder bleiben, so bleibt das zusammengesetzte Verhältnis gleich dem früheren Verhältnis. Es seien die Vorderglieder die Zahlen a, b, c, d, die Hinterglieder die Zahlen h, s, g, t, das Verhältnis, das sich aus a : h, b : s, c : g, d : t zusammensetzt, sei gleich k: 1. Vertauscht man entsprechende Glieder und nimmt das Verhältnis, das sich aus a : g, b: h, c : t und dem Verhältnis d: s zusammensetzt, so ist dieses auch gleich dem Verhältnis k : 1. Beweis: Wir nennen die Zahl, die sich aus den Zahlen a, b, c, d zusammensetzt, m; und die Zahl, die sich aus den Zahlen h, s, g, t zusammensetzt, n. Siehe, dann ist das Verhältnis m : n gleich dem Verhältnis, das sich aus den Zahlen a, b, c, d zu den Zahlen h, s, g, t zusammensetzt. Die Zahl, die sich aus h, s, g, t zusammensetzt, ist aber gleich der Zahl, die aus h, g, t, s gebildet wird. Nun ist das Verhältnis m : n gleich dem Verhältnis, das sich aus den Zahlen a, b, c, d zu den Zahlen h, g, t, s, zusammensetzt, also ist (nach der Einleitung des Euklid) das Verhältnis, das sich aus den Zahlen