Bericht über das Schuljahr ... der Stiftischen Realschule mit Lyzeum der Israelitischen Religionsgesellschaft in Frankfurt am Main · 1909-01-01 · 1909 · page 68

— 10 a. d. g so oft als Faktor, wie das Produkt h. s Einheiten hat, da jeder von ihnen gleich a. d. h. s. g ist. Nun enthält tk als Ganzes a. d, g so oft als Faktor, wie das Produkt h. s. multipliziert mit ihrer Anzahl, die gleich dem Produkt b. c ist, angibt, Das Resultat ist aber, wie schon gezeigt, die Zahl, die aus den Zahlen b, c, h, s zusammengesetzt ist. Also enthält tk als Ganzes die aus a, d, g zusammengesetzte Zahl so oft, wie die Einheiten in der aus b, c, h, s zusammengesetzten Zahl angeben. Multipliziert man also das Produkt a, d, g mit dem Produkt b, c, h, s, so ist das Resultat die durch tk dargestellte Zahl. Damit ist auch gezeigt, dass, wenn man die aus irgend welchen von diesen Zahlen zusammengesetzte Zahl mit der aus den übrigbleibenden gebildeten multipliziert, das Resultat auch tk ist. Und somit ist auch für jede Zahl, die sich aus beliebig vielen Zahlen zusammensetzt, gezeigt, dass das Ergebnis eben dieselbe Zahl ist, wenn man mit der aus irgend welchen Zahlen gebildeten Zahl, die aus den übrigbleibenden zusammengesetzte multipliziert. Deshalb enthält die resultierende Zahl auch die aus irgend welchen dieser Zahlen zusammengesetzte so oft als Faktor, wie die Anzahl der Einheiten der aus den übrigbleibenden gebildeten angibt, w. z. b. w. 13. Das Verhältnis einer aus beliebig vielen Zahlen zusammengesetzten Zahl zu einer aus ebensovielen Zahlen zusammengesetzten ist gleich dem Verhältnis, das sich aus den Verhältnissen der Vorderglieder zu den Hintergliedern zusammensetzt. Die Zahl a sei aus den Zahlen b, c, d, h, s zusammengesetzt, g aus Zahlen t, k, 1, m, n. Behauptung; Das Verhältnis a:g setzt sich aus 5 Verhältnissen, zusammen aus dem Verhältnis b : t, dem Verhältnis c : k, dem Verhältnis d : 1, dem Verhältnis h : m und dem Verhältnis s : n. Beweis: Wir multiplizieren die aus c, d, h s, zusammengesetzte Zahl mit t, das Resultat sei x. Siehe, das Produkt c. d. h. s. wurde mit b multipliziert und ergab a und mit t multipliziert und ergab x; also verhält sich a : x wie b : t. Und ebenso multiplizieren wir die aus t, d, h, s, gebildete Zahl mit k, das Resultat sei y. Siehe, die Zahl